Calcule as integrais abaixo, indicando a técnica de integração utilizada.
integral0^5 x raiz25-x^2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral definida
I = integral0^5 xraiz25 - x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções que envolvem raiz quadrada de expressão quadrática, e vamos usar a técnica de substituição simples para lidar com xraiz25 - x^2.

Passo 2

Identificação da técnica – substituição simples: como dentro da raiz aparece 25 - x^2 e fora temos um x,dx, sugerimos a troca
u = 25 - x^2,
pois então
du = -2x,dxLongrightarrow x,dx = -tfrac12,du

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u: substituindo u = 25 - x^2 e x,dx = -tfrac12 du, obtemos
I = integral0^5 xraiz25 - x^2,dx = -tfrac12 integralu(0)^u(5) u^1/2,du
Aqui u(0)=25 e u(5)=0.

Passo 4

Integração em u: calculamos
-tfrac12 integral u^1/2,du = -tfrac12 cdot u^3/23/2 = -tfrac13,u^3/2 + C

Passo 5

Voltando a x e avaliando os limites: a primitiva é
F(x) = -tfrac13,(25 - x^2)^3/2
Então
I = F(5) - F(0) = l[-tfrac13,(25 - x^2)^3/2r]0^5 = l(0r) - l(-tfrac13cdot25^3/2r) = 1253

Resposta

1253

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