Considere a EDO y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=G(x).
Ainda considerando G(x)=0, obtenha a solução que satisfaz y(0)=2, y^prime(0)=3 e y^prime prime(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem, que é $ y’’’ - y’’ + y’ - y = G(x) $. Como $ G(x) = 0 $, a equação fica homogênea: $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $. Nosso objetivo é encontrar uma solução para essa equação que satisfaça as condições iniciais: $ y(0) = 2 $, $ y’(0) = 3 $, e $ y’’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs de coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à EDO. A equação característica para uma EDO de terceira ordem com a forma $ y’’’ + a y’’ + b y’ + c y = 0 $ é $ r^3 + a r^2 + b r + c = 0 $. No nosso caso, a EDO é $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $, então comparando, temos:
y''' + a y'' + b y' + c y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $. Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar encontrar uma raiz real racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as possíveis raízes são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, os potenciais valores são $ r = 1 $ e $ r = -1 $.
Vamos testar $ r = 1 $:
r^3 - r^2 + r - 1 = 0
Então, $ r = 1 $ é uma raiz da equação.

Passo 4

Sabendo que $ r = 1 $ é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica usando a fatoração $ (r - 1)(ar^2 + br + c) = 0 $. Vamos dividir a equação $ r^3 - r^2 + r - 1 $ por $ (r - 1) $ usando a divisão polinomial ou a fatoração por agrupamento.
Utilizando fatoração por agrupamento:
r = 1
Então, a equação fatorada é:
(r - 1)(ar^2 + br + c) = 0

Passo 5

As soluções da equação característica são as raízes que anulam cada fator. Então:
r - 1 = 0 Rightarrow r = 1
e
r^2 + 1 = 0 Rightarrow r^2 = -1 Rightarrow r = pm i
Então, as raízes são $ r = 1 $, $ r = i $, e $ r = -i $.

Passo 6

Agora, com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada tipo de raiz contribui de uma forma para a solução:
  • Uma raiz real simples $ r = 1 $ contribui com um termo da forma $ C_1 e^{r x} = C_1 e^{x} $.
  • As raízes complexas $ r = \pm i $ contribuem com termos da forma $ C_2 \cos(x) + C_3 \sin(x) $.
Então, a solução geral é:
r = 1

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes $ C_1 $, $ C_2 $, e $ C_3 $. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
C1
C2
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para $ x = 0 $:
C3
y'(x) = C1 e^x - C2 sin(x) + C3 cos(x)
y''(x) = C1 e^x - C2 cos(x) - C3 sin(x)

Passo 8

Agora, temos um sistema de equações para as constantes:
C1 + C2 = 2 C1 + C3 = 3 C1 - C2 = 0
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: $ C_1 = C_2 $.
Substituindo $ C_2 $ por $ C_1 $ na primeira equação:
C1 = C2
Então, $ C_2 = 1 $.
Da segunda equação:
C2

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
y(x) = e^x + cos(x) + 2 sin(x)

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