Considere a EDO
.
Ainda considerando
, obtenha a solução que satisfaz
e
.
Ainda considerando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem, que é $ y’’’ - y’’ + y’ - y = G(x) $. Como $ G(x) = 0 $, a equação fica homogênea: $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $. Nosso objetivo é encontrar uma solução para essa equação que satisfaça as condições iniciais: $ y(0) = 2 $, $ y’(0) = 3 $, e $ y’’(0) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs de coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação característica associada à EDO. A equação característica para uma EDO de terceira ordem com a forma $ y’’’ + a y’’ + b y’ + c y = 0 $ é $ r^3 + a r^2 + b r + c = 0 $. No nosso caso, a EDO é $ y’’’ - y’’ + y’ - y = 0 $, então comparando, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica $ r^3 - r^2 + r - 1 = 0 $. Para resolver essa equação cúbica, podemos tentar encontrar uma raiz real racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que as possíveis raízes são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, os potenciais valores são $ r = 1 $ e $ r = -1 $.
Vamos testar $ r = 1 $:
Então, $ r = 1 $ é uma raiz da equação.
Passo 4
Sabendo que $ r = 1 $ é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica usando a fatoração $ (r - 1)(ar^2 + br + c) = 0 $. Vamos dividir a equação $ r^3 - r^2 + r - 1 $ por $ (r - 1) $ usando a divisão polinomial ou a fatoração por agrupamento.
Utilizando fatoração por agrupamento:
Então, a equação fatorada é:
Passo 5
As soluções da equação característica são as raízes que anulam cada fator. Então:
e
Então, as raízes são $ r = 1 $, $ r = i $, e $ r = -i $.
Passo 6
Agora, com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Cada tipo de raiz contribui de uma forma para a solução:
- Uma raiz real simples $ r = 1 $ contribui com um termo da forma $ C_1 e^{r x} = C_1 e^{x} $.
- As raízes complexas $ r = \pm i $ contribuem com termos da forma $ C_2 \cos(x) + C_3 \sin(x) $.
Então, a solução geral é:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes $ C_1 $, $ C_2 $, e $ C_3 $. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para $ x = 0 $:
Passo 8
Agora, temos um sistema de equações para as constantes:
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: $ C_1 = C_2 $.
Substituindo $ C_2 $ por $ C_1 $ na primeira equação:
Então, $ C_2 = 1 $.
Da segunda equação:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é: