Obtenha a transformada de Laplace da solução do PVI ly^prime prime-y^prime=sen(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial (PVI):
y'' - y' = sin(t), y(0) = 0, y'(0) = 1
Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais e usando a transformada de Laplace para resolver. Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como lidar com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $. Então, aplicando a transformada:
y(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada transformada separadamente. Para $ y’’ $:
y''
Sabemos que $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $, então:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 4

Para $ y’ $:
y'
Com $ y(0) = 0 $:
Ly' = s Y(s) - y(0)

Passo 5

Substituindo as transformadas na equação original:
s^2 Y(s) - 1 - s Y(s) = Lsin(t)
Sabemos que:
Lsin(t) = 1s^2 + 1
Então a equação fica:
s^2 Y(s) - s Y(s) - 1 = 1s^2 + 1

Passo 6

Vamos isolar $ Y(s) $. Primeiro, fatorando $ Y(s) $:
Y(s)
Agora, somando 1 aos dois lados:
Y(s)

Passo 7

Simplificando o lado direito:
1s^2 + 1 + 1 = 1s^2 + 1 + s^2 + 1s^2 + 1 = s^2 + 2s^2 + 1
Então:
Y(s)(s^2 - s) = s^2 + 2s^2 + 1

Passo 8

Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Podemos simplificar mais se quisermos, mas como o exercício pede apenas a transformada de Laplace da solução, já podemos considerar esse resultado suficiente.

Resposta

A transformada de Laplace da solução do PVI é:
Y(s) = s^2 + 2(s^2 + 1)(s^2 - s)

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