Obtenha a transformada de Laplace da solução do PVI
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial (PVI):
Aqui estamos trabalhando com equações diferenciais e usando a transformada de Laplace para resolver. Vamos precisar conhecer as propriedades da transformada de Laplace, especialmente como lidar com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $. Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada transformada separadamente. Para $ y’’ $:
Sabemos que $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 1 $, então:
Passo 4
Para $ y’ $:
Com $ y(0) = 0 $:
Passo 5
Substituindo as transformadas na equação original:
Sabemos que:
Então a equação fica:
Passo 6
Vamos isolar $ Y(s) $. Primeiro, fatorando $ Y(s) $:
Agora, somando 1 aos dois lados:
Passo 7
Simplificando o lado direito:
Então:
Passo 8
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Podemos simplificar mais se quisermos, mas como o exercício pede apenas a transformada de Laplace da solução, já podemos considerar esse resultado suficiente.
Resposta
A transformada de Laplace da solução do PVI é: