Calcule as integrais abaixo:
cotgudu
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função escrita como “cotg u”, ou seja, calcular
Informações dadas: a integranda é a cotangente de
e a variável de integração é
. É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Primeira observação útil (sempre importante reconhecer formas): a cotangente pode ser escrita como razão de cosseno por seno. Em notação matemática usamos
para cotangente, então
Isso nos ajuda porque a fração
sugere uma substituição simples.
Passo 3
Reescrevendo a integral usando a identidade acima:
Agora vemos claramente uma estrutura do tipo
com
, porque
. Quando a integranda tem essa forma, a substituição
funciona direitinho.
Passo 4
Fazemos a substituição explícita. Seja
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Portanto
, e a integral fica numa forma bem simples:
Passo 5
Agora integramos
. Essa é uma integral fundamental: a primitiva de
é o logaritmo natural (com valor absoluto para cobrir sinais). Ou seja,
onde
é a constante de integração. Explico por que usar valor absoluto: o logaritmo natural
só está definido para
, mas a substituição
pode ser negativa; escrever
garante validade para
.
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos
Passo 7
Para fixar a ideia: existe uma fórmula curta que muitas vezes usamos sem repetir a substituição toda vez:
No nosso caso
e
, então a fórmula dá diretamente
.
Passo 8
Exemplo rápido parecido (pra você treinar na prova): calcule
. Fazendo a mesma ideia:
. Tomando
temos
, então
Percebe como o fator da derivada interno aparece como multiplicador
.