Calcule as integrais abaixo:
\int cotgudu

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função escrita como “cotg u”, ou seja, calcular
\int \operatorname{cotg} u\,du.
Informações dadas: a integranda é a cotangente de u e a variável de integração é u. É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Primeira observação útil (sempre importante reconhecer formas): a cotangente pode ser escrita como razão de cosseno por seno. Em notação matemática usamos \cot para cotangente, então
\cot u = \frac{\cos u}{\sin u}.
Isso nos ajuda porque a fração \dfrac{\cos u}{\sin u} sugere uma substituição simples.

Passo 3

Reescrevendo a integral usando a identidade acima:
\int \operatorname{cotg} u\,du = \int \frac{\cos u}{\sin u}\,du.
Agora vemos claramente uma estrutura do tipo \dfrac{f'(u)}{f(u)} com f(u)=\sin u, porque f'(u)=\cos u. Quando a integranda tem essa forma, a substituição t=f(u) funciona direitinho.

Passo 4

Fazemos a substituição explícita. Seja
t=\sin u.
Derivando ambos os lados em relação a u obtemos
dt=\cos u\,du.
Portanto \cos u\,du = dt, e a integral fica numa forma bem simples:
\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du = \int \frac{dt}{t}.

Passo 5

Agora integramos \displaystyle \int \frac{dt}{t}. Essa é uma integral fundamental: a primitiva de \dfrac{1}{t} é o logaritmo natural (com valor absoluto para cobrir sinais). Ou seja,
\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C,
onde C é a constante de integração. Explico por que usar valor absoluto: o logaritmo natural \ln(t) só está definido para t>0, mas a substituição t=\sin u pode ser negativa; escrever \ln|t| garante validade para t\neq0.

Passo 6

Voltando à variável original u (substituindo t=\sin u), obtemos
\int \operatorname{cotg} u\,du = \ln|\sin u| + C.

Passo 7

Para fixar a ideia: existe uma fórmula curta que muitas vezes usamos sem repetir a substituição toda vez:
\int \frac{f'(u)}{f(u)}\,du = \ln|f(u)| + C.
No nosso caso f(u)=\sin u e f'(u)=\cos u, então a fórmula dá diretamente \ln|\sin u|+C.

Passo 8

Exemplo rápido parecido (pra você treinar na prova): calcule \displaystyle \int \cot(2u)\,du. Fazendo a mesma ideia: \cot(2u)=\dfrac{\cos(2u)}{\sin(2u)}. Tomando t=\sin(2u) temos dt=2\cos(2u)\,du, então
\int \cot(2u)\,du = \int \frac{\cos(2u)}{\sin(2u)}\,du = \frac{1}{2}\ln|\sin(2u)| + C.
Percebe como o fator da derivada interno aparece como multiplicador 1/2.

Resposta

\ln|\sin u| + C

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