O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o posto da matriz [A) e (2) encontrar o conjunto- -solução do sistema linear dado. As informações fornecidas são:
Observações importantes (dados que vamos usar): a matriz A\] apresentada tem 4 colunas; as três primeiras colunas correspondem aos coeficientes das incógnitas \(x,y,z e a quarta coluna é o termo independente (o vetor coluna dos termos à direita). Assim, A funciona como a matriz aumentada do sistema. Logo, para resolver o sistema trabalharemos com a matriz aumentada A e, para determinar se o sistema é possível, compararemos o posto da parte dos coeficientes com o posto da matriz aumentada.]
Passo 2
Vamos lembrar didaticamente o que é “posto” (rank) e como encontrá-lo com eliminação de Gauss.
O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Na prática, ao aplicar eliminação de Gauss e levar a matriz a uma forma escalonada por linhas, o posto é o número de linhas não nulas (ou o número de pivôs).
Eliminação de Gauss: fazemos operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma em que é fácil ver pivôs e variáveis dependentes.
Agora aplicamos eliminação de Gauss à matriz aumentada A. Para facilitar, faço operações de linha e mostro cada matriz resultante.
Há exatamente duas linhas não nulas (duas linhas com pivôs). Logo o posto da matriz aumentada A é 2.
As duas primeiras colunas (correspondentes a x e y) têm pivôs; a terceira coluna (correspondente a z) não tem pivô e, portanto, z é uma variável livre.
A quarta coluna da matriz A era a coluna dos termos independentes; como a linha zero final tem também 0 no termo independente, o sistema é consistente (não há equação contraditória do tipo 0= \text{não-zero}ã).
Portanto:
posto da matriz dos coeficientes (as 3 primeiras colunas) é 2,
posto da matriz aumentada A também é 2,
logo o sistema é possível. Como o número de incógnitas é 3 e o posto é 2, teremos 3-2=1 parâmetro livre (uma família de soluções em uma dimensão).
Passo 6
Agora extraímos as equações a partir da forma escalonada e resolveremos por substituição (back-substitution), explicando cada passo:
As duas equações não-triviais na forma escalonada são (lendo as duas primeiras linhas):
\begin{cases} x - 16z - 1\cdot w = -1,\\[4pt] y - 4z - 1\cdot w = -1, \end{cases}
onde eu mantive simbolicamente a coluna extra (quarta coluna) já incorporada nos termos à direita durante a eliminação. Mas, olhando para a nossa matriz escalonada, as entradas da quarta coluna já foram usadas para produzir os termos constantes mostrados; na prática as equações finais são
\begin{cases} x - 16z = -1,\\[4pt] y - 4z = -1. \end{cases}
Explicando: cada linha da forma escalonada corresponde a uma equação linear em x,y,z. A primeira linha deu 1\cdot x + 0\cdot y -16\cdot z = -1. A segunda linha deu 0\cdot x +1\cdot y -4\cdot z = -1.
Definimos z como parâmetro livre, digamos z=t, com t\in\mathbb{R}. Então:
x = -1 + 16t,
y = -1 + 4t,
z = t.]
Passo 7
Escrevendo a solução na forma vetorial (muito útil na prova):