(2,0 pontos) Determine o posto da matriz A e o conjunto-soluçāo do sistema linear:
A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 2 & 8 & -1 \\\\ 3 & -10 & -8 & 7 \\\\ 1 & -6 & 8 & 5 \end{array}\right) \quad, \quad\left\{\begin{array}{ccc} -x+2 y+8 z & = & -1 \\\\ 3 x-10 y-8 z & = & 7 \\\ x-6 y+8 z & = & 5 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o posto da matriz [A) e (2) encontrar o conjunto- -solução do sistema linear dado. As informações fornecidas são:
A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 2 & 8 & -1 \\\\ 3 & -10 & -8 & 7 \\\\ 1 & -6 & 8 & 5 \end{array}\right)
e o sistema (escrito separadamente) é
\begin{cases} -x+2y+8z = -1,\\[4pt] 3x-10y-8z = 7,\\[4pt] x-6y+8z = 5. \end{cases}
Observações importantes (dados que vamos usar): a matriz A\] apresentada tem 4 colunas; as três primeiras colunas correspondem aos coeficientes das incógnitas \(x,y,z e a quarta coluna é o termo independente (o vetor coluna dos termos à direita). Assim, A funciona como a matriz aumentada do sistema. Logo, para resolver o sistema trabalharemos com a matriz aumentada A e, para determinar se o sistema é possível, compararemos o posto da parte dos coeficientes com o posto da matriz aumentada.]

Passo 2

Vamos lembrar didaticamente o que é “posto” (rank) e como encontrá-lo com eliminação de Gauss.
  • O posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Na prática, ao aplicar eliminação de Gauss e levar a matriz a uma forma escalonada por linhas, o posto é o número de linhas não nulas (ou o número de pivôs).
  • Eliminação de Gauss: fazemos operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter uma forma em que é fácil ver pivôs e variáveis dependentes.
Agora aplicamos eliminação de Gauss à matriz aumentada A. Para facilitar, faço operações de linha e mostro cada matriz resultante.
Matriz inicial (aumentada):
\left(\begin{array}{cccc|c} -1 & 2 & 8 & -1 & -1\\\\ 3 & -10 & -8 & 7 & 7\\\\ 1 & -6 & 8 & 5 & 5 \end{array}\right).
Primeira operação: trocar o sinal da primeira linha (ou multiplicar por -1) para obter pivô 1 na primeira posição:
R_1 \leftarrow -R_1
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -8 & 1 & 1\\\\ 3 & -10 & -8 & 7 & 7\\\\ 1 & -6 & 8 & 5 & 5 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminação abaixo do pivô da primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos cada uma:
Para R_2:
R_2 = (3,-10,-8,7\mid 7) - 3(1,-2,-8,1\mid 1) = (0,-4,16,4\mid 4).
Para R_3:
R_3 = (1,-6,8,5\mid 5) - (1,-2,-8,1\mid 1) = (0,-4,16,4\mid 4).
A matriz fica:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -8 & 1 & 1\\\\ 0 & -4 & 16 & 4 & 4\\\\ 0 & -4 & 16 & 4 & 4 \end{array}\right).
Note que R_2 e R_3 são iguais; isso já indica dependência entre linhas.

Passo 4

Normalizamos a segunda linha para obter pivô 1 na segunda coluna:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{4}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=(0,1,-4,-1\mid -1).
Aplicamos essa linha para zerar a entrada em R_1 na coluna 2 e para anular R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2.
  • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2 (porque R_3 tem -4 nessa posição).
Calculemos:
R_1 = (1,-2,-8,1\mid 1) + 2(0,1,-4,-1\mid -1) = (1,0,-16,-1\mid -1).
R_3 = (0,-4,16,4\mid 4) + 4(0,1,-4,-1\mid -1) = (0,0,0,0\mid 0).
A matriz agora está (forma escalonada por linhas):
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -16 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & -4 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).

Passo 5

Interpretação da forma escalonada:
  • Há exatamente duas linhas não nulas (duas linhas com pivôs). Logo o posto da matriz aumentada A é 2.
  • As duas primeiras colunas (correspondentes a x e y) têm pivôs; a terceira coluna (correspondente a z) não tem pivô e, portanto, z é uma variável livre.
  • A quarta coluna da matriz A era a coluna dos termos independentes; como a linha zero final tem também 0 no termo independente, o sistema é consistente (não há equação contraditória do tipo 0= \text{não-zero}ã).
Portanto:
  • posto da matriz dos coeficientes (as 3 primeiras colunas) é 2,
  • posto da matriz aumentada A também é 2,
    logo o sistema é possível. Como o número de incógnitas é 3 e o posto é 2, teremos 3-2=1 parâmetro livre (uma família de soluções em uma dimensão).

Passo 6

Agora extraímos as equações a partir da forma escalonada e resolveremos por substituição (back-substitution), explicando cada passo:
As duas equações não-triviais na forma escalonada são (lendo as duas primeiras linhas):
\begin{cases} x - 16z - 1\cdot w = -1,\\[4pt] y - 4z - 1\cdot w = -1, \end{cases}
onde eu mantive simbolicamente a coluna extra (quarta coluna) já incorporada nos termos à direita durante a eliminação. Mas, olhando para a nossa matriz escalonada, as entradas da quarta coluna já foram usadas para produzir os termos constantes mostrados; na prática as equações finais são
\begin{cases} x - 16z = -1,\\[4pt] y - 4z = -1. \end{cases}
Explicando: cada linha da forma escalonada corresponde a uma equação linear em x,y,z. A primeira linha deu 1\cdot x + 0\cdot y -16\cdot z = -1. A segunda linha deu 0\cdot x +1\cdot y -4\cdot z = -1.
Definimos z como parâmetro livre, digamos z=t, com t\in\mathbb{R}. Então:
x = -1 + 16t,
y = -1 + 4t,
z = t.]

Passo 7

Escrevendo a solução na forma vetorial (muito útil na prova):
A solução geral é
(x,y,z) = (-1,-1,0) + t(16,4,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação: (-1,-1,0) é uma solução particular e (16,4,1) gera o espaço dos núcleos (a solução da homogênea), multiplicado pelo parâmetro t.

Resposta

\operatorname{posto}(A)=2
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid (x,y,z)=(-1,-1,0)+t(16,4,1),\\ t\in\mathbb{R}\}

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