Determine (com os devidos cálculos):
(1,5 ponto) O(s) valor(es) de k \in \mathbb{R} para o(s) qual(is) o sistema linear \left\{\begin{array}{cc}x-y & =k \\\\ 5 x-4 y & =0 \\\\ -3 x+2 y & =2\end{array}\right. possui solução.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de k\in\mathbb{R}\) para o(s) qual(is) o sistema
\[\begin{cases} x-y=k,\\[4pt] 5x-4y=0,\\[4pt] -3x+2y=2 \end{cases}
possui solução. Informações dadas: as três equações lineares acima, incógnitas x\] e \(y, parâmetro real k. O objetivo é encontrar todos os valores de k que tornam o sistema compatível (ou seja, que exista pelo menos um par (x,y) satisfazendo as três equações simultaneamente).]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação do porquê): como temos duas incógnitas x,y e três equações, o sistema é sobre-determinado — normalmente duas equações independentes já determinam x e y; para haver solução as outras equações devem ser compatíveis com essa solução. Portanto a abordagem mais direta e básica (fácil de fazer na prova) é: resolver duas equações quaisquer independentes para obter (x,y) e depois exigir que esta solução satisfaça a terceira equação; isso dará uma condição sobre k. Escolhi as equações segunda e terceira porque seus coeficientes permitem eliminação fácil.
Passo 3
Breve aula sobre eliminação (método usado): para resolver duas equações lineares
\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1,\\[4pt] a_2 x + b_2 y = c_2, \end{cases}
podemos multiplicar uma das equações por um número e somar as equações para eliminar uma incógnita (por exemplo, eliminar y fazendo os coeficientes de y se cancelarem). Depois de encontrar uma incógnita, substituímos de volta numa das equações para achar a outra. Esse procedimento chama-se eliminação de Gauss (ou método da combinação linear).]
Passo 4
Aplicando eliminação às equações segunda e terceira:
escrevemos as duas equações em bloco:
5x-4y=0
-3x+2y=2
Perceba que multiplicando a terceira equação por 2 obtemos coeficiente de y igual em módulo ao da segunda:
Portanto a solução das equações segunda e terceira é (x,y)=(-4,-5). Como essas duas equações são independentes, essa é a única solução que satisfaz ambas.
Passo 7
Agora exigimos que essa solução também satisfaça a primeira equação x-y=k. Substituímos x=-4 e y=-5:
x-y = -4-(-5)= -4+5 = 1.
Assim a igualdade x-y=k fica 1=k. Logo o parâmetro deve ser
k=1.
Passo 8
Conclusão interpretativa e verificação rápida: para k=1 a solução (x,y)=(-4,-5) satisfaz as três equações simultaneamente, então o sistema é compatível. Para qualquer k\neq 1 as duas últimas equações já fixam (x,y) e essa solução não satisfaria a primeira, portanto o sistema seria incompatível. Assim há exatamente um valor de k que torna o sistema solucionável.