Calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-3 x+2\right| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|\;dx.
Este problema envolve valor absoluto de um polinômio de segundo grau, então vamos:
  1. Encontrar as raízes de x^{2}-3x+2.
  2. Determinar em quais intervalos o polinômio é positivo ou negativo.
  3. Expressar a integral como soma de integrais sem valor absoluto (multiplicando por \pm1 conforme o sinal).
  4. Calcular cada uma dessas integrais polinomiais e somar os resultados.

Passo 2

As raízes de x^{2}-3x+2 vêm da equação
x^{2}-3x+2=0,
cuja fatoração é
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Portanto as raízes são x=1 e x=2. Como a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo), temos:
  • Para 0\le x<1: x^{2}-3x+2>0.
  • Para 1<x<2: x^{2}-3x+2<0.
  • Para 2<x\le4: x^{2}-3x+2>0.

Passo 3

Escrevemos a integral como soma de três partes:
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|dx =\int_{0}^{1}(x^{2}-3x+2)\,dx -\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)\,dx +\int_{2}^{4}(x^{2}-3x+2)\,dx.
Agora calculamos cada parte.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{1}(x^{2}-3x+2)\,dx.
Uma antiderivada de x^{2}-3x+2 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x.
Logo
\int_{0}^{1}(x^{2}-3x+2)\,dx =F(1)-F(0) =\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{2}+2\Bigr)-0 =\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{2}+2 =\tfrac{5}{6}.

Passo 5

Calcular
\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)\,dx
e depois multiplicar por -1. Usando a mesma F(x),
\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)\,dx =F(2)-F(1).
Calculamos
F(2)=\frac{8}{3}-\frac{3\cdot4}{2}+4 =\frac{8}{3}-6+4 =\frac{8}{3}-2 =\frac{2}{3},
F(1)=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2 =\frac{5}{6}.
Então
\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)\,dx =\frac{2}{3}-\frac{5}{6} =-\frac{1}{6},
e
-\int_{1}^{2}(x^{2}-3x+2)\,dx =+\frac{1}{6}.

Passo 6

Calcular
\int_{2}^{4}(x^{2}-3x+2)\,dx =F(4)-F(2).
Já sabemos F(2)=\tfrac{2}{3}. Agora
F(4)=\frac{64}{3}-\frac{3\cdot16}{2}+8 =\frac{64}{3}-24+8 =\frac{64}{3}-16 =\frac{16}{3}.
Logo
\int_{2}^{4}(x^{2}-3x+2)\,dx =\frac{16}{3}-\frac{2}{3} =\frac{14}{3}.

Passo 7

Somamos os três resultados:
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-3x+2\bigr|dx =\frac{5}{6}+\frac{1}{6}+\frac{14}{3} =1+\frac{14}{3} =\frac{17}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{3}

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