Aplicar os resultados dos exercícios 10 e 11 para encontrar o menor e o maior valor possível das integrais dadas a seguir:
(a) \int_{3}^{4} 5 x d x
(b) \int_{1}^{4}|x-1| d x
(c) \int_{-2}^{4} 2 x^{2} d x
(d ) \int_{-1}^{4}\left(x^{4}-8 x^{2}+16\right) d x

Passo 1

O enunciado pede, para cada função f num intervalo [a,b], que apliquemos o seguinte resultado (exercícios 10 e 11): se em [a,b] vale
m \le f(x) \le M,
então
m\,(b-a)\;\le\;\int_{a}^{b}f(x)\,dx\;\le\;M\,(b-a).
Vamos, para cada item, determinar o valor mínimo m e máximo M de f em [a,b] e em seguida calcular os limites da integral.

Passo 2

(a) Aqui f(x)=5x em [3,4].
Como 5x é crescente, o mínimo ocorre em x=3 e o máximo em x=4:
m = 5\cdot 3 = 15, \quad M = 5\cdot 4 = 20, \quad b-a = 4-3 = 1.
Logo
15\cdot1 \le \int_{3}^{4}5x\,dx \le 20\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad 15 \le \int_{3}^{4}5x\,dx \le 20.

Passo 3

(b) Aqui f(x)=|x-1| em [1,4].
Em [1,4], |x-1| cresce de 0 (em x=1) até 3 (em x=4).
m = 0, \quad M = 3, \quad b-a = 4-1 = 3.
Logo
0\cdot3 \le \int_{1}^{4}|x-1|\,dx \le 3\cdot3 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le \int_{1}^{4}|x-1|\,dx \le 9.

Passo 4

(c) Aqui f(x)=2x^{2} em [-2,4].
A parábola 2x^{2} atinge mínimo em x=0 e tem valores nos extremos x=-2 e x=4:
m = 2\cdot0^2 = 0, \quad f(-2)=2\cdot4=8, \quad f(4)=2\cdot16=32 \;\Longrightarrow\; M=32, \quad b-a = 4-(-2) = 6.
Logo
0\cdot6 \le \int_{-2}^{4}2x^{2}\,dx \le 32\cdot6 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le \int_{-2}^{4}2x^{2}\,dx \le 192.

Passo 5

(d) Aqui f(x)=x^{4}-8x^{2}+16=(x^{2}-4)^{2} em [-1,4].
Essa função é \ge0 sempre. O mínimo ocorre em x=2 (única raiz de x^{2}-4 no intervalo), onde f(2)=0.
Nos extremos:
f(-1)=((-1)^{2}-4)^{2}=(1-4)^{2}=9, \quad f(4)=((4)^{2}-4)^{2}=(16-4)^{2}=144.
Portanto
m=0, \quad M=144, \quad b-a=4-(-1)=5,
e
0\cdot5 \le \int_{-1}^{4}(x^{4}-8x^{2}+16)\,dx \le 144\cdot5 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le \int_{-1}^{4}(x^{4}-8x^{2}+16)\,dx \le 720.

Resposta

(a) 15 \le \displaystyle\int_{3}^{4}5x\,dx \le 20
(b) 0 \le \displaystyle\int_{1}^{4}|x-1|\,dx \le 9
(c) 0 \le \displaystyle\int_{-2}^{4}2x^{2}\,dx \le 192
(d) 0 \le \displaystyle\int_{-1}^{4}(x^{4}-8x^{2}+16)\,dx \le 720

Exercícios relacionados