Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{e^{2 x}}{2+e^{2 x}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitivada (integral indefinida)
\int \frac{e^{2x}}{2+e^{2x}}\,dx.
Informações importantes que temos: o numerador é e^{2x} e o denominador é 2+e^{2x}. Note que o numerador é proporcional à derivada de e^{2x} (essa observação será útil).

Passo 2

Ideia do método (substituição): quando a integral tem a forma \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx a primitiva é \ln|f(x)|. Aqui percebe-se que 2+e^{2x} pode ser uma boa escolha para u, porque sua derivada envolve e^{2x}. Vamos definir a substituição:
u = 2 + e^{2x}.

Passo 3

Calcular du usando a regra da cadeia. A derivada de e^{2x} em relação a x é 2e^{2x}, portanto
du = 2e^{2x}\,dx.
Isolando e^{2x}\,dx para substituir na integral:
e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Fazer a substituição na integral original. Substituindo u e e^{2x}\,dx obtemos
\int \frac{e^{2x}}{2+e^{2x}}\,dx = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Integrar \int \dfrac{1}{u}\,du. A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, porque \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u}. Assim
\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável x substituindo u=2+e^{2x}. Observação: 2+e^{2x}>0 para todo x, então o valor absoluto não é necessário, mas mantê-lo não faz mal. Portanto a primitiva em termos de x é
\frac{1}{2}\ln\!\bigl(2+e^{2x}\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): derivando \dfrac{1}{2}\ln\bigl(2+e^{2x}\bigr) obtém-se
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2+e^{2x}}\cdot 2e^{2x}=\frac{e^{2x}}{2+e^{2x}},
que é exatamente o integrando. Portanto a resposta está correta. Força aí — você já sabe o truque: quando o numerador aparece como derivada (ou múltiplo) do denominador, a substituição u= denominador costuma resolver rapidinho!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\bigl(2+e^{2x}\bigr)+C

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