Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitivada (integral indefinida)
Informações importantes que temos: o numerador é
e o denominador é
. Note que o numerador é proporcional à derivada de
(essa observação será útil).
Passo 2
Ideia do método (substituição): quando a integral tem a forma
a primitiva é
. Aqui percebe-se que
pode ser uma boa escolha para
, porque sua derivada envolve
. Vamos definir a substituição:
Passo 3
Calcular
usando a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, portanto
Isolando
para substituir na integral:
Passo 4
Fazer a substituição na integral original. Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Integrar
. A primitiva de
é
, porque
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável
substituindo
. Observação:
para todo
, então o valor absoluto não é necessário, mas mantê-lo não faz mal. Portanto a primitiva em termos de
é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): derivando
obtém-se
que é exatamente o integrando. Portanto a resposta está correta. Força aí — você já sabe o truque: quando o numerador aparece como derivada (ou múltiplo) do denominador, a substituição
denominador costuma resolver rapidinho!