Calcule as integrais abaixo:
\int \operatorname{sen} x(1+\cos x)^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \sin x\,(1+\cos x)^{2}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de \sin x por (1+\cos x)^{2}. Não há limites, logo é uma primitiva indefinida (resultará em uma expressão mais constante de integração C).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): é comum, quando aparece uma expressão do tipo f(g(x)) multiplicada por uma derivada de g(x), fazer a substituição u=g(x). Aqui dentro do quadrado está 1+\cos x e a derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x, ou seja, aparece \sin x no integrando — isso sugere a substituição
u = 1+\cos x.
A substituição transforma a integral em uma integral mais simples em u. Vou mostrar passo a passo como.

Passo 3

Calcular du e reescrever o diferencial:
u = 1+\cos x \quad\Rightarrow\quad du = -\sin x\,dx.
Daí obtemos
\sin x\,dx = -du.
Substituindo na integral original:
\int \sin x\,(1+\cos x)^{2}\,dx = \int u^{2}\,(\sin x\,dx) = \int u^{2}(-du) = -\int u^{2}\,du.

Passo 4

Integrar em u usando a regra da potência para primitivas (a regra diz que, para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C):
-\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo u=1+\cos x:
-\frac{u^{3}}{3}+C = -\frac{(1+\cos x)^{3}}{3} + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): derivar a resposta deve retornar o integrando.
Calcular \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{(1+\cos x)^{3}}{3}\right):
-\frac{1}{3}\cdot 3(1+\cos x)^{2}\cdot \frac{d}{dx}(1+\cos x) = -(1+\cos x)^{2}\cdot ( -\sin x ) = (1+\cos x)^{2}\sin x,
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{(1+\cos x)^{3}}{3}+C

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