Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
por
. Não há limites, logo é uma primitiva indefinida (resultará em uma expressão mais constante de integração
).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): é comum, quando aparece uma expressão do tipo
multiplicada por uma derivada de
, fazer a substituição
. Aqui dentro do quadrado está
e a derivada de
é
, ou seja, aparece
no integrando — isso sugere a substituição
A substituição transforma a integral em uma integral mais simples em
. Vou mostrar passo a passo como.
Passo 3
Calcular
e reescrever o diferencial:
Daí obtemos
Substituindo na integral original:
Passo 4
Integrar em
usando a regra da potência para primitivas (a regra diz que, para
,
):
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): derivar a resposta deve retornar o integrando.
Calcular :
Calcular
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.