Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações fornecidas: a expressão integranda é a razão entre
e
. Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida). O objetivo é encontrar uma função cuja derivada seja essa integranda, mais uma constante de integração.
Passo 2
Simplificar a expressão antes de integrar, usando identidades trigonométricas básicas. Lembrando que
Então podemos dividir o numerador termo a termo por
:
Portanto a integral original fica
Passo 3
Usar linearidade da integral para separar os termos:
A primeira integral é direta:
Para a segunda, escrevemos
e fazemos substituição simples. Seja
. Então
, o que implica
. Assim
Voltando para a variável
temos
Somando as duas partes e juntando as constantes em uma única constante
,
Passo 4
Verificação rápida diferenciando o resultado para garantir que dá o integrando. Seja
. Então
que é exatamente a forma simplificada do integrando. Logo a primitiva está correta.