Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{\operatorname{sen} x+\cos x}{\cos x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\,dx.
Informações fornecidas: a expressão integranda é a razão entre \sin x+\cos x e \cos x. Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida). O objetivo é encontrar uma função cuja derivada seja essa integranda, mais uma constante de integração.

Passo 2

Simplificar a expressão antes de integrar, usando identidades trigonométricas básicas. Lembrando que
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\qquad\text{e}\qquad\frac{\cos x}{\cos x}=1.
Então podemos dividir o numerador termo a termo por \cos x:
\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x}=\tan x+1.
Portanto a integral original fica
\int \frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\,dx=\int\bigl(1+\tan x\bigr)\,dx.

Passo 3

Usar linearidade da integral para separar os termos:
\int\bigl(1+\tan x\bigr)\,dx=\int 1\,dx+\int \tan x\,dx.
A primeira integral é direta:
\int 1\,dx = x.
Para a segunda, escrevemos \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e fazemos substituição simples. Seja u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx, o que implica \sin x\,dx=-du. Assim
\int \tan x\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int \frac{-1}{u}\,du=-\ln|u|+C_1.
Voltando para a variável x temos
\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C_1.
Somando as duas partes e juntando as constantes em uma única constante C,
\int\bigl(1+\tan x\bigr)\,dx = x - \ln|\cos x| + C.

Passo 4

Verificação rápida diferenciando o resultado para garantir que dá o integrando. Seja F(x)=x-\ln|\cos x|. Então
F'(x)=1-\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)=1+\frac{\sin x}{\cos x}=1+\tan x,
que é exatamente a forma simplificada do integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

x-\ln|\cos x|+C

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