Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função integranda é
multiplicada por . - Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função
tal que .
Passo 2
Estratégia escolhida: usar substituição simples (método da mudança de variável). Explicação do método (aula curta e intuitiva): quando a integranda é uma função composta
multiplicada por algo proporcional a
, é útil fazer a substituição
. Isso transforma a integral em uma forma mais simples em
. Aqui é natural identificar
porque a derivada de
envolve
, que já aparece na integranda.
Passo 3
Fazendo a substituição. Defina
Calcule
usando a regra da cadeia para derivadas (a derivada de
é
e da composição com
vem o fator
):
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral original:
Passo 4
Integral em
. Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Agora lembramos da fórmula básica de primitiva: se
para constante
. Aqui
, então
Multiplicando pela constante
obtemos
Passo 5
Voltando para a variável
(retro-substituição): lembrando que
, a primitiva na variável
é
Verificação rápida (checagem): diferenciando
usando a regra da cadeia:
que é exatamente a integranda. Beleza — está correto!