Calcule as integrais abaixo:
\int e^{3 \cos 2 x} \cdot \operatorname{sen}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{3\cos(2x)}\cdot \operatorname{sen}(2x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é e^{3\cos(2x)} multiplicada por \operatorname{sen}(2x).
  • Queremos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=e^{3\cos(2x)}\cdot \operatorname{sen}(2x).

Passo 2

Estratégia escolhida: usar substituição simples (método da mudança de variável). Explicação do método (aula curta e intuitiva): quando a integranda é uma função composta f(g(x)) multiplicada por algo proporcional a g'(x), é útil fazer a substituição u=g(x). Isso transforma a integral em uma forma mais simples em u. Aqui é natural identificar g(x)=\cos(2x) porque a derivada de \cos(2x) envolve \operatorname{sen}(2x), que já aparece na integranda.

Passo 3

Fazendo a substituição. Defina
u=\cos(2x).
Calcule du usando a regra da cadeia para derivadas (a derivada de \cos(t) é -\sin(t) e da composição com 2x vem o fator 2):
du = \frac{d}{dx}\bigl(\cos(2x)\bigr)\,dx = -2\operatorname{sen}(2x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(2x)\,dx obtemos
\operatorname{sen}(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original:
\int e^{3\cos(2x)}\cdot \operatorname{sen}(2x)\,dx = \int e^{3u}\cdot\left(-\frac{1}{2}\,du\right).

Passo 4

Integral em u. Podemos tirar a constante -\tfrac{1}{2} para fora da integral:
\int e^{3u}\cdot\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}\int e^{3u}\,du.
Agora lembramos da fórmula básica de primitiva: se \int e^{a u}\,du = \frac{1}{a}e^{a u}+C para constante a\neq0. Aqui a=3, então
\int e^{3u}\,du = \frac{1}{3}e^{3u}+C.
Multiplicando pela constante -\tfrac{1}{2} obtemos
-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}e^{3u} + C = -\frac{1}{6}e^{3u}+C.

Passo 5

Voltando para a variável x (retro-substituição): lembrando que u=\cos(2x), a primitiva na variável x é
-\frac{1}{6}e^{3\cos(2x)}+C.
Verificação rápida (checagem): diferenciando F(x)=-\tfrac{1}{6}e^{3\cos(2x)} usando a regra da cadeia:
F'(x) = -\frac{1}{6}\cdot e^{3\cos(2x)}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(3\cos(2x)\bigr) = -\frac{1}{6}\cdot e^{3\cos(2x)}\cdot 3\cdot(-2)\operatorname{sen}(2x) = e^{3\cos(2x)}\operatorname{sen}(2x),
que é exatamente a integranda. Beleza — está correto!

Resposta

-\dfrac{1}{6}e^{3\cos(2x)}+C

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