Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial indicado:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com condições iniciais:
com
As perguntas implícitas são: encontrar a solução
para
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Todas as informações relevantes já estão acima: a equação, o valor inicial
e o valor inicial da derivada
.
Passo 2
O que vamos usar: Transformada de Laplace. Vou explicar o que é e as propriedades que precisamos.
Definição básica:
onde
é uma variável complexa (na prática, tratamos
como um número real maior que certo valor para garantir convergência). A transformada converte funções de
em funções de
, transformando equações diferenciais em equações algébricas — isso é a mágica útil para resolver problemas com condições iniciais.
Propriedades que vamos usar (mostro também uma breve justificativa para a regra da derivada):
- Linearidade:
- Transformada de uma exponencial:
- Transformada de derivadas (essas são essenciais; mostro a fórmula e uma rápida ideia de por que ela vale):
onde
. Ideia da demonstração para
: aplique definição
e faça integração por partes, usando que
vai a zero quando
(caso usual de funções físicas/soluções), e avalie no
surgindo o termo
; o resto gera
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial inteira. Denotando
, transformamos cada termo usando as fórmulas de derivada mostradas:
Transformada de
:
Transformada de
:
Transformada de
:
Somando tudo e usando que o lado direito é
(transformada de
é
), obtemos:
Passo 4
Agora substituímos as condições iniciais
na expressão do passo anterior:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos em
e os termos independentes:
Logo,
Portanto, isolando
,
Passo 5
Fatoramos o denominador para facilitar a transformação inversa:
Assim
Para voltar ao domínio do tempo, fazemos frações parciais. Escrevemos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos polinômios:
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes de
e termos constantes, obtemos o sistema linear:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Então
Portanto
Passo 7
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
para
. Assim,
Ou seja,
Passo 8
Verificação rápida (boa prática para prova): cheque as condições iniciais.
Em
:
ok.
Derivando
:
Em
:
ok. Assim a solução satisfaz a equação transformada e as condições iniciais.