Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial indicado:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+5 \frac{d y}{d t}+4 y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com condições iniciais:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+5 \frac{d y}{d t}+4 y=0,
com
y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0.
As perguntas implícitas são: encontrar a solução y(t) para t\ge 0 que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. Todas as informações relevantes já estão acima: a equação, o valor inicial y(0)=1 e o valor inicial da derivada y'(0)=0.

Passo 2

O que vamos usar: Transformada de Laplace. Vou explicar o que é e as propriedades que precisamos.
Definição básica:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, tratamos s como um número real maior que certo valor para garantir convergência). A transformada converte funções de t em funções de s, transformando equações diferenciais em equações algébricas — isso é a mágica útil para resolver problemas com condições iniciais.
Propriedades que vamos usar (mostro também uma breve justificativa para a regra da derivada):
  • Linearidade:
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformada de uma exponencial:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\}(s)=\frac{1}{s+a},\quad \text{para }\Re(s)>-a.
  • Transformada de derivadas (essas são essenciais; mostro a fórmula e uma rápida ideia de por que ela vale):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Ideia da demonstração para \mathcal{L}\{y'(t)\}: aplique definição \int_{0}^{\infty} e^{-s t} y'(t)\,dt e faça integração por partes, usando que e^{-s t}y(t) vai a zero quando t\to\infty (caso usual de funções físicas/soluções), e avalie no 0 surgindo o termo -y(0); o resto gera sY(s).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), transformamos cada termo usando as fórmulas de derivada mostradas:
Transformada de \frac{d^{2}y}{dt^{2}}:
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Transformada de 5\frac{d y}{dt}:
5\mathcal{L}\{y'(t)\}=5\big(sY(s)-y(0)\big).
Transformada de 4y:
4\mathcal{L}\{y(t)\}=4Y(s).
Somando tudo e usando que o lado direito é 0 (transformada de 0 é 0), obtemos:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+5\big(sY(s)-y(0)\big)+4Y(s)=0.

Passo 4

Agora substituímos as condições iniciais \;y(0)=1,\; y'(0)=0\; na expressão do passo anterior:
\big(s^{2}Y(s)-s\cdot 1-0\big)+5\big(sY(s)-1\big)+4Y(s)=0.
Simplificando os termos:
s^{2}Y(s)-s+5sY(s)-5+4Y(s)=0.
Agrupando os termos em Y(s) e os termos independentes:
\big(s^{2}+5s+4\big)Y(s)-(s+5)=0.
Logo,
\big(s^{2}+5s+4\big)Y(s)=s+5.
Portanto, isolando Y(s),
Y(s)=\frac{s+5}{s^{2}+5s+4}.

Passo 5

Fatoramos o denominador para facilitar a transformação inversa:
s^{2}+5s+4=(s+1)(s+4).
Assim
Y(s)=\frac{s+5}{(s+1)(s+4)}.
Para voltar ao domínio do tempo, fazemos frações parciais. Escrevemos
\frac{s+5}{(s+1)(s+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por (s+1)(s+4) e igualamos polinômios:
s+5=A(s+4)+B(s+1).
Expandindo o lado direito:
s+5=(A+B)s+(4A+B).
Comparando coeficientes de s e termos constantes, obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 4A+B=5. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4A+B)-(A+B)=5-1 \implies 3A=4 \implies A=\frac{4}{3}.
Então
B=1-A=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+4}.]

Passo 7

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t},
para t\ge 0. Assim,
\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\frac{4}{3}e^{-1\cdot t}-\frac{1}{3}e^{-4\cdot t}.
Ou seja,
y(t)=\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t},\qquad t\ge 0.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática para prova): cheque as condições iniciais.
Em t=0:
y(0)=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1,
ok.
Derivando y(t):
y'(t)=-\frac{4}{3}e^{-t}+\frac{4}{3}e^{-4t}.
Em t=0:
y'(0)=-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0,
ok. Assim a solução satisfaz a equação transformada e as condições iniciais.

Resposta

y(t)=\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{-4t}.

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