Calcule as integrais abaixo
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são simétricos ( -1 a 1) e a função integranda é \displaystyle \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}. Não há mais dados ocultos.

Passo 2

Observação útil (que vai poupar trabalho): verifique se a função integranda é par (even) ou ímpar (odd). Uma função f é par se f(-x)=f(x). Aqui,
\frac{(-x)^{2}}{\big((-x)^{2}+1\big)^{2}}=\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}},
logo a função é par. Para integrais de uma função par em um intervalo simétrico, vale a identidade
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Aplicando aqui,
\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = 2\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Faça uma simplificação algébrica para facilitar a integração. Note que
x^{2}=(x^{2}+1)-1.
Dividindo por (x^{2}+1)^{2}
\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}-\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}.
Essa decomposição é prática porque \displaystyle \frac{1}{x^{2}+1} e \displaystyle \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}} têm primitivas conhecidas.

Passo 4

Separe a integral em duas:
2\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\right)\,dx =2\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx\right).

Passo 5

Calcule a primeira integral simples. Lembra que a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}. Assim
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C.
Portanto, em termos de limites,
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Agora precisamos de uma primitiva de \displaystyle \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}. Uma maneira elegante de obter essa primitiva é observar a derivada de \dfrac{x}{x^{2}+1}. Calcule:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{x^{2}+1}\right) =\frac{(1)(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Combinando essa expressão com \dfrac{1}{x^{2}+1} podemos montar a primitiva desejada. Procure uma combinação linear do tipo A\cdot\frac{x}{x^{2}+1}+B\cdot\arctan x. Tentando A=\tfrac{1}{2} e B=\tfrac{1}{2} (essa escolha é padrão para este integral), obtemos a primitiva
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{x}{2(x^{2}+1)} + \frac{1}{2}\arctan x + C.
(Se quiser verificar: diferenciando o lado direito recupera \dfrac{1}{(x^{2}+1)^{2}}.)

Passo 7

Avalie a segunda integral com a primitiva encontrada:
\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx =\left[\frac{x}{2(x^{2}+1)}+\frac{1}{2}\arctan x\right]_{0}^{1}.
Calcule os valores nos extremos:
em x=1,
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{1}{2}\arctan(1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8},
em x=0,
\frac{0}{2(0^{2}+1)}+\frac{1}{2}\arctan(0)=0+0=0.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}.

Passo 8

Agora volte à expressão em

Passo 9

2\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx - \int_{0}^{1}\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx\right) =2\left(\frac{\pi}{4} - \left(\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}\right)\right).
Simplifique passo a passo:
\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{8},
então dentro do parêntese fica \displaystyle \frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}. Multiplicando por 2
2\left(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}

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