Calcule as integrais abaixo
’
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: os limites de integração são simétricos (
a
) e a função integranda é
. Não há mais dados ocultos.
Passo 2
Observação útil (que vai poupar trabalho): verifique se a função integranda é par (even) ou ímpar (odd). Uma função
é par se
. Aqui,
logo a função é par. Para integrais de uma função par em um intervalo simétrico, vale a identidade
Aplicando aqui,
Passo 3
Faça uma simplificação algébrica para facilitar a integração. Note que
Dividindo por
dá
Essa decomposição é prática porque
e
têm primitivas conhecidas.
Passo 4
Separe a integral em duas:
Passo 5
Calcule a primeira integral simples. Lembra que a derivada de
é
. Assim
Portanto, em termos de limites,
Passo 6
Agora precisamos de uma primitiva de
. Uma maneira elegante de obter essa primitiva é observar a derivada de
. Calcule:
Combinando essa expressão com
podemos montar a primitiva desejada. Procure uma combinação linear do tipo
. Tentando
e
(essa escolha é padrão para este integral), obtemos a primitiva
(Se quiser verificar: diferenciando o lado direito recupera
.)
Passo 7
Avalie a segunda integral com a primitiva encontrada:
Calcule os valores nos extremos:
em ,
em
em
,
Logo
Passo 8
Agora volte à expressão em
Passo 9
Simplifique passo a passo:
então dentro do parêntese fica
. Multiplicando por
dá