Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
Informações dadas importantes:
- O integrando é uma razão onde o denominador é uma potência de
. - No numerador aparece
, que é próximo da derivada de (a derivada de é ).
O objetivo é encontrar uma funçãotal que .
Passo 2
Estratégia: usar substituição (mudança de variável). Explicação didática da técnica:
- A substituição é útil quando dentro de uma função composta aparece a derivada (ou algo proporcional a ela) do “miolo”. Aqui o “miolo” do denominador é
, cuja derivada é . - A ideia é definir uma nova variável
igual a esse miolo, transformar toda a integral em termos de e , integrar usando regras simples (como a regra do poder), e depois voltar a .
Definimos
Passo 3
Calcular o diferencial
em função de
. Derivando
em relação a
:
Queremos substituir
na integral; isolando:
Passo 4
Reescrever a integral original em termos de
. Substituímos
por
e
por
:
Fatorando constantes:
Aqui aplicamos a regra do poder para integrais: para
,
No nosso caso
, então
. Assim,
Passo 5
Simplificar a constante multiplicativa:
Portanto a primitiva em termos de
é
Voltando à variável
usando
, obtemos
Também se pode escrever como
, são equivalentes.
Passo 6
Verificação (checagem rápida por diferenciação) — breve explicação: é sempre bom derivar a primitiva encontrada para confirmar que retorna o integrando.
Calcular a derivada de . Pela regra da cadeia:
Calcular a derivada de
Multiplicando constantes:
logo
que é exatamente o integrando. Confirmação completa.