Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{5}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função
\int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{5}}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • O integrando é uma razão onde o denominador é uma potência de x^{3}+2.
  • No numerador aparece 8x^{2}, que é próximo da derivada de x^{3}+2 (a derivada de x^{3}+2 é 3x^{2}).
    O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{8 x^{2}}{(x^{3}+2)^{5}}.

Passo 2

Estratégia: usar substituição (mudança de variável). Explicação didática da técnica:
  • A substituição é útil quando dentro de uma função composta aparece a derivada (ou algo proporcional a ela) do “miolo”. Aqui o “miolo” do denominador é x^{3}+2, cuja derivada é 3x^{2}.
  • A ideia é definir uma nova variável u igual a esse miolo, transformar toda a integral em termos de u e du, integrar usando regras simples (como a regra do poder), e depois voltar a x.
Definimos
u = x^{3}+2.

Passo 3

Calcular o diferencial du em função de dx. Derivando u em relação a x:
\frac{du}{dx}=3x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=3x^{2}\,dx.
Queremos substituir x^{2}\,dx na integral; isolando:
x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral original em termos de u. Substituímos x^{2}\,dx por \dfrac{1}{3}du e (x^{3}+2) por u:
\int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{5}}\,dx = \int 8\cdot \frac{x^{2}\,dx}{u^{5}} = \int 8\cdot \frac{1}{u^{5}}\cdot\frac{1}{3}\,du.
Fatorando constantes:
= \frac{8}{3}\int u^{-5}\,du.
Aqui aplicamos a regra do poder para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-5, então n+1=-4. Assim,
\frac{8}{3}\int u^{-5}\,du = \frac{8}{3}\cdot\frac{u^{-4}}{-4}+C.

Passo 5

Simplificar a constante multiplicativa:
\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{-4} = \frac{8}{-12} = -\frac{2}{3}.
Portanto a primitiva em termos de u é
-\frac{2}{3}u^{-4}+C.
Voltando à variável x usando u=x^{3}+2, obtemos
-\frac{2}{3}\left(x^{3}+2\right)^{-4}+C.
Também se pode escrever como -\dfrac{2}{3(x^{3}+2)^{4}}+C, são equivalentes.

Passo 6

Verificação (checagem rápida por diferenciação) — breve explicação: é sempre bom derivar a primitiva encontrada para confirmar que retorna o integrando.
Calcular a derivada de F(x)=-\dfrac{2}{3}\left(x^{3}+2\right)^{-4}. Pela regra da cadeia:
F'(x) = -\frac{2}{3}\cdot(-4)\left(x^{3}+2\right)^{-5}\cdot 3x^{2}.
Multiplicando constantes:
-\frac{2}{3}\cdot(-4)\cdot 3 = 8,
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F'(x)=\frac{8x^{2}}{(x^{3}+2)^{5}},
que é exatamente o integrando. Confirmação completa.

Resposta

-\frac{2}{3}\left(x^{3}+2\right)^{-4}+C

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