Parametrize as superfícies dadas a seguir, explicitando seus domínios.
\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x-5 y+z=1\}.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície em \mathbb{R}^3 definida pela equação
x - 5y + z = 1.
O conteúdo é parametrização de superfícies: precisamos escolher dois parâmetros livres, já que a equação impõe uma relação entre as três coordenadas.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros livres
y = u, \quad z = v,
onde (u,v) serão coordenadas no domínio.

Passo 3

Substituindo y=u e z=v em x - 5y + z = 1 e isolando x, obtemos
x = 1 + 5u - v.

Passo 4

Assim a parametrização vetorial da superfície fica
\mathbf r(u,v) = \bigl(x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)\bigr) = \bigl(1 + 5u - v,\;u,\;v\bigr).

Passo 5

O domínio natural dos parâmetros é todo o plano
\{(u,v)\in \mathbb{R}^2\}.

Resposta

\displaystyle \mathbf r(u,v) = (1 + 5u - v,\;u,\;v),\quad (u,v)\in\mathbb{R}^2.

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