Calcule as integrais abaixo.
\int \operatorname{cossec}^{2} x \sqrt{\operatorname{cotg} x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \csc^2 x \,\sqrt{\cot x}\,dx
Esse tipo de integral sugere usar substituição, pois a derivada de \cot x é -\csc^2 x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cot x.
Então
du = \frac{d}{dx}(\cot x)\,dx = -\csc^2 x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csc^2 x\,dx = -\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, observamos que \sqrt{\cot x}=u^{1/2}. Logo,
\int \csc^2 x \,\sqrt{\cot x}\,dx = \int u^{1/2}\,(\csc^2 x\,dx) = \int u^{1/2}(-du) = -\int u^{1/2}\,du.
Agora basta integrar em u:
-\int u^{1/2}\,du = -\frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = -\frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x com u=\cot x, obtemos
-\frac{2}{3}\,(\cot x)^{3/2} + C.

Resposta

-\frac{2}{3}\cot^{3/2}x + C

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