Achar as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y, z)=z^{x y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y,z)=z^{x y}.
Aqui o tema é derivada parcial de função que tem variável na base e no expoente, então vamos usar logaritmo e regra da cadeia para exponencial.

Passo 2

Para simplificar a diferenciação, reescrevemos
f(x,y,z)=z^{x y}=\exp\bigl(xy\ln z\bigr).
Assim, sempre que derivarmos f, podemos tratar o argumento do exponencial e aplicar a cadeia.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
Como f=\exp\bigl(xy\ln z\bigr), pela regra da cadeia
\frac{\partial f}{\partial x} =f\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy\ln z\bigr) =\exp\bigl(xy\ln z\bigr)\cdot\bigl(y\ln z\bigr).
Voltando à forma original,
\frac{\partial f}{\partial x} =y\ln(z)\;z^{xy}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} =f\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy\ln z\bigr) =\exp\bigl(xy\ln z\bigr)\cdot\bigl(x\ln z\bigr) =x\ln(z)\;z^{xy}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}:
Desta vez derivamos em relação a z, lembrando que \frac{\partial}{\partial z}(xy\ln z)=xy\cdot\frac1z. Logo,
\frac{\partial f}{\partial z} =f\;\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy\ln z\bigr) =\exp\bigl(xy\ln z\bigr)\cdot\frac{xy}{z} =\frac{xy}{z}\;z^{xy}.
Podemos reescrever \dfrac{xy}{z}\,z^{xy}=xy\,z^{xy-1}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y\ln(z)\;z^{xy}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x\ln(z)\;z^{xy}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z}=xy\,z^{xy-1}.

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