Achar as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x^{y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=x^{y}. O conteúdo envolvido é derivada de função de duas variáveis, onde usamos a regra da cadeia e a transformação
x^y = e^{y\ln x}
para lidar com o expoente variável.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, escrevemos
f(x,y)=e^{g(x,y)},\quad g(x,y)=y\ln x.
Como
\frac{\partial g}{\partial x}=y\cdot\frac{1}{x}=\frac{y}{x},
pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x} =x^y\cdot\frac{y}{x} =y\,x^{y-1}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, mantemos x constante. Em g(x,y)=y\ln x temos
\frac{\partial g}{\partial y}=\ln x.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial y} =x^y\ln x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y\,x^{y-1}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^y\ln x.

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