Calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} x\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integrando é \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • Dentro do intervalo de integração [0,\pi] temos \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, ou seja, o integrando não está definido em x=\tfrac{\pi}{2}.
  • Como há uma singularidade em \tfrac{\pi}{2} dentro do intervalo, trata-se de uma integral imprópria e é necessário tratar os limites laterais na vizinhança de x=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria com singularidade interna: devemos partir a integral no ponto singular e tomar limites laterais. Escrevemos
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} x\,dx = \lim_{a\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^-}\int_{0}^{a}\operatorname{sec} x\,dx + \lim_{b\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^+}\int_{b}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx.
Se ambos os limites existirem e forem finitos, a integral converge; se um deles divergir (ou ambos), a integral diverge.

Passo 3

Vamos achar uma primitiva de \operatorname{sec} x. Um truque clássico é multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} (que vale 1 quando \operatorname{sec} x+\tan x\neq0) para reescrever a integral de forma conveniente:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^2 x+\operatorname{sec} x\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Observe que a derivada do denominador \operatorname{sec} x+\tan x é
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x+\tan x)=\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x,
que é exatamente o numerador acima. Logo podemos fazer a substituição u=\operatorname{sec} x+\tan x, obtendo diretamente
\int \operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C.
(Verificação rápida: derivando \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| \dfrac{\operatorname{sec} x\tan x+\operatorname{sec}^2 x}{\operatorname{sec} x+\tan x}=\operatorname{sec} x.)

Passo 4

Calculemos a primeira das duas integrais impróprias, a da esquerda:
\int_{0}^{a}\operatorname{sec} x\,dx = \Bigl[\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\Bigr]_{0}^{a} = \ln\bigl|\operatorname{sec} a+\tan a\bigr|-\ln\bigl|\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr|.
Como \operatorname{sec} 0=1 e \tan 0=0, tem-se \ln\bigl|\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr|=\ln 1=0. Assim
\int_{0}^{a}\operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} a+\tan a\bigr|.
Agora tomamos o limite quando a\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^-. Quando a se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda, \tan a\to +\infty e \operatorname{sec} a\to +\infty, portanto \operatorname{sec} a+\tan a\to +\infty e
\lim_{a\to(\pi/2)^-}\ln\bigl|\operatorname{sec} a+\tan a\bigr|=+\infty.
Logo a integral do trecho [0,\tfrac{\pi}{2}) diverge para +\infty.

Passo 5

Agora a integral da direita:
\int_{b}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx = \Bigl[\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\Bigr]_{b}^{\pi} = \ln\bigl|\operatorname{sec} \pi+\tan \pi\bigr|-\ln\bigl|\operatorname{sec} b+\tan b\bigr|.
Como \operatorname{sec} \pi=-1 e \tan \pi=0, tem-se \ln\bigl|\operatorname{sec} \pi+\tan \pi\bigr|=\ln 1=0. Assim
\int_{b}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx=-\ln\bigl|\operatorname{sec} b+\tan b\bigr|.
Quando b\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^+, temos \tan b\to -\infty e \operatorname{sec} b\to -\infty, então \operatorname{sec} b+\tan b\to -\infty, o que faz \bigl|\operatorname{sec} b+\tan b\bigr|\to +\infty e
\lim_{b\to(\pi/2)^+}-\ln\bigl|\operatorname{sec} b+\tan b\bigr|=-\infty.
Portanto a integral do trecho (\tfrac{\pi}{2},\pi] diverge para -\infty.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • A integral da esquerda diverge para +\infty.
  • A integral da direita diverge para -\infty.
Como pelo menos uma (na verdade ambas em módulo) diverge, a soma dos limites não produz um número finito. Ou seja, a integral imprópria
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx
não converge — ela é divergente. Atenção: avaliar a primitiva em 0 e em \pi (obtendo 0 e 0) e subtrair dá zero, mas isso é inválido aqui porque o integrando tem singularidade interna; a manipulação direta da primitiva só é permitida quando a função é contínua no intervalo fechado. Neste caso, a avaliação direta produz uma forma enganosa; o procedimento correto é o das somas de limites laterais que fizemos acima.
Observação adicional (útil para a prova): o valor de Cauchy (valor principal) existe e é 0. Definimos o valor principal por
\operatorname{PV}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\operatorname{sec} x\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}+\varepsilon}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx\Bigr).
Usando a primitiva \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| os dois termos logarítmicos que surgem têm a mesma magnitude e sinais opostos quando \varepsilon\to0, levando a \operatorname{PV}=0. Mas repito: valor principal é diferente de convergência da integral; apesar do PV ser 0, a integral imprópria não converge.

Passo 7

Intuição rápida pelo comportamento perto da singularidade: para x=\tfrac{\pi}{2}\pm h com h pequeno,
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-h\bigr)\approx \frac{1}{h}\quad\text{e}\quad \operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{2}+h\bigr)\approx -\frac{1}{h},
logo as integrais próximas ao ponto se comportam como \int \dfrac{1}{h}\,dh\sim \ln h, que diverge quando h\to0. Isso reforça a conclusão de divergência.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx é divergente (não converge).

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