Calcule as integrais abaixo: \int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sec} x\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A função integrando é \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
Dentro do intervalo de integração [0,\pi] temos \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, ou seja, o integrando não está definido em x=\tfrac{\pi}{2}.
Como há uma singularidade em \tfrac{\pi}{2} dentro do intervalo, trata-se de uma integral imprópria e é necessário tratar os limites laterais na vizinhança de x=\tfrac{\pi}{2}.
Passo 2
Definição prática de integral imprópria com singularidade interna: devemos partir a integral no ponto singular e tomar limites laterais. Escrevemos
Se ambos os limites existirem e forem finitos, a integral converge; se um deles divergir (ou ambos), a integral diverge.
Passo 3
Vamos achar uma primitiva de \operatorname{sec} x. Um truque clássico é multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} (que vale 1 quando \operatorname{sec} x+\tan x\neq0) para reescrever a integral de forma conveniente:
Agora tomamos o limite quando a\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^-. Quando a se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda, \tan a\to +\infty e \operatorname{sec} a\to +\infty, portanto \operatorname{sec} a+\tan a\to +\infty e
Quando b\to\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^+, temos \tan b\to -\infty e \operatorname{sec} b\to -\infty, então \operatorname{sec} b+\tan b\to -\infty, o que faz \bigl|\operatorname{sec} b+\tan b\bigr|\to +\infty e
Portanto a integral do trecho (\tfrac{\pi}{2},\pi] diverge para -\infty.
Passo 6
Juntando os resultados:
A integral da esquerda diverge para +\infty.
A integral da direita diverge para -\infty.
Como pelo menos uma (na verdade ambas em módulo) diverge, a soma dos limites não produz um número finito. Ou seja, a integral imprópria
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx
não converge — ela é divergente. Atenção: avaliar a primitiva em 0 e em \pi (obtendo 0 e 0) e subtrair dá zero, mas isso é inválido aqui porque o integrando tem singularidade interna; a manipulação direta da primitiva só é permitida quando a função é contínua no intervalo fechado. Neste caso, a avaliação direta produz uma forma enganosa; o procedimento correto é o das somas de limites laterais que fizemos acima.
Observação adicional (útil para a prova): o valor de Cauchy (valor principal) existe e é 0. Definimos o valor principal por
Usando a primitiva \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| os dois termos logarítmicos que surgem têm a mesma magnitude e sinais opostos quando \varepsilon\to0, levando a \operatorname{PV}=0. Mas repito: valor principal é diferente de convergência da integral; apesar do PV ser 0, a integral imprópria não converge.
Passo 7
Intuição rápida pelo comportamento perto da singularidade: para x=\tfrac{\pi}{2}\pm h com h pequeno,
logo as integrais próximas ao ponto se comportam como \int \dfrac{1}{h}\,dh\sim \ln h, que diverge quando h\to0. Isso reforça a conclusão de divergência.
Resposta
A integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\operatorname{sec} x\,dx é divergente (não converge).