Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação importante:
não está definida em , portanto a integral é imprópria no extremo . Precisamos interpretar a integral como um limite por .
Passo 2
Antes de integrar, vamos justificar que a integral é convergente (ou seja, o limite no extremo
existe finito). Precisamos examinar o comportamento de
quando
.
Mostramos que
pois isso aparecerá na integração por partes. Para provar esse limite, faça a substituição
. Quando
temos
e
O limite
porque a exponencial domina o termo linear (pode-se aplicar a regra de L’Hôpital:
). Logo
. Isso garante que termos de borda envolvendo
vão para
em
.
Passo 3
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula (para funções
e
suficientemente suaves) é
Explicando as letras:
-
é uma função que escolhemos para derivar (ou seja, calculamos ); -
é o restante do integrando que escolhemos para integrar (ou seja, calculamos tal que ); -
é o produto das primitivas e aparece como termo de fronteira quando for uma integral definida.
Passo 4
Escolha conveniente para esta integral:
Agora calcule
e
:
-
porque a derivada de é ; -
Passo 5
Aplicando integração por partes à integral impropria (tomando cuidado com o extremo
via limites), obtemos
Note que a expressão
significa
Passo 6
Avalie o termo de fronteira no extremo
. Usamos o resultado do Passo 2:
Portanto
Passo 7
Agora simplificamos a segunda integral que ficou:
Calcule
:
Passo 8
Substituindo esse resultado na expressão da integração por partes, obtemos
Agora efetue a multiplicação e simplifique:
logo
Passo 9
Fatorando
para deixar a resposta mais compacta: