Calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{2} x^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} x^{2}\ln x\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O integrando é x^{2}\ln x.
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • Observação importante: \ln x não está definida em x=0, portanto a integral é imprópria no extremo 0. Precisamos interpretar a integral como um limite por x\to0^+.

Passo 2

Antes de integrar, vamos justificar que a integral é convergente (ou seja, o limite no extremo 0 existe finito). Precisamos examinar o comportamento de x^{2}\ln x quando x\to0^+.
Mostramos que
\lim_{x\to0^+} x^{3}\ln x = 0,
pois isso aparecerá na integração por partes. Para provar esse limite, faça a substituição x=e^{-t}. Quando x\to0^+ temos t\to+\infty e
x^{3}\ln x = e^{-3t}(-t) = -t e^{-3t}.
O limite \lim_{t\to+\infty} t e^{-3t}=0 porque a exponencial domina o termo linear (pode-se aplicar a regra de L’Hôpital: \lim_{t\to\infty}\dfrac{t}{e^{3t}}=0). Logo \lim_{x\to0^+} x^{3}\ln x = 0. Isso garante que termos de borda envolvendo x^{3}\ln x vão para 0 em x=0.

Passo 3

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula (para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves) é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando as letras:
  • u é uma função que escolhemos para derivar (ou seja, calculamos du);
  • dv é o restante do integrando que escolhemos para integrar (ou seja, calculamos v tal que dv=v'\,dx);
  • uv é o produto das primitivas e aparece como termo de fronteira quando for uma integral definida.

Passo 4

Escolha conveniente para esta integral:
u=\ln x,\qquad dv = x^{2}\,dx.
Agora calcule du e v:
  • du = \dfrac{1}{x}\,dx porque a derivada de \ln x é 1/x;
  • v = \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Aplicando integração por partes à integral impropria (tomando cuidado com o extremo 0 via limites), obtemos
\int_{0}^{2} x^{2}\ln x\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Note que a expressão \left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{0}^{2} significa
\lim_{a\to0^+}\left(\frac{2^{3}}{3}\ln 2 - \frac{a^{3}}{3}\ln a\right).

Passo 6

Avalie o termo de fronteira no extremo 0. Usamos o resultado do Passo 2:
\lim_{a\to0^+}\frac{a^{3}}{3}\ln a = \frac{1}{3}\lim_{a\to0^+} a^{3}\ln a = 0.
Portanto
\left[\frac{x^{3}}{3}\ln x\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}\ln 2 - 0 = \frac{8}{3}\ln 2.

Passo 7

Agora simplificamos a segunda integral que ficou:
\int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Calcule \displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx:
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3}-0 = \frac{8}{3}.

Passo 8

Substituindo esse resultado na expressão da integração por partes, obtemos
\int_{0}^{2} x^{2}\ln x\,dx = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{1}{3}\cdot\frac{8}{3}.
Agora efetue a multiplicação e simplifique:
\frac{1}{3}\cdot\frac{8}{3} = \frac{8}{9},
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\int_{0}^{2} x^{2}\ln x\,dx = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9}.

Passo 9

Fatorando \dfrac{8}{9} para deixar a resposta mais compacta:
\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9} = \frac{8}{9}\bigl(3\ln 2 - 1\bigr).

Resposta

\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9} = \frac{8}{9}\bigl(3\ln 2 - 1\bigr)

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