Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A integranda é
. - É uma primitiva (antiderivada) indefinida; devemos apresentar a função cujo derivada é a integranda, mais a constante de integração.
Passo 2
Procuro uma substituição que simplifique a raiz
. Uma escolha natural é definir a expressão dentro da raiz como uma nova variável. Faço
Agora calculo a diferencial
para ver se aparece
(que está na integranda):
Isolando
obtenho
Passo 3
Substituo na integral usando
e
em termos de
. A raiz vira
. Assim:
Colocando os fatores constantes para fora,
Passo 4
Aplico a regra de potência para primitiva: para qualquer
,
Aqui
, então
Passo 5
Substituo esse resultado na expressão com o coeficiente
:
Simplificando os coeficientes:
Logo a primitiva em termos de
é
Passo 6
Volto à variável
substituindo
:
Passo 7
Para ganhar confiança, verifico rapidamente derivando essa primitiva (checagem por derivação):
Calculando os coeficientes:
portanto a derivada fica
que é exatamente a integranda. Tudo confere.