Calcule as integrais abaixo:
\int 3 x^{3} \sqrt{1-4 x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int 3x^{3}\sqrt{1-4x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é 3x^{3}\sqrt{1-4x^{4}}.
  • É uma primitiva (antiderivada) indefinida; devemos apresentar a função cujo derivada é a integranda, mais a constante de integração.

Passo 2

Procuro uma substituição que simplifique a raiz \sqrt{1-4x^{4}}. Uma escolha natural é definir a expressão dentro da raiz como uma nova variável. Faço
u = 1-4x^{4}.
Agora calculo a diferencial du para ver se aparece x^{3}\,dx (que está na integranda):
du = -16x^{3}\,dx.
Isolando x^{3}\,dx obtenho
x^{3}\,dx = -\frac{1}{16}\,du.

Passo 3

Substituo na integral usando u e x^{3}\,dx em termos de du. A raiz vira \sqrt{u} = u^{1/2}. Assim:
\int 3x^{3}\sqrt{1-4x^{4}}\,dx = \int 3\bigl(u^{1/2}\bigr)\left(-\frac{1}{16}\,du\right).
Colocando os fatores constantes para fora,
\int 3x^{3}\sqrt{1-4x^{4}}\,dx = -\frac{3}{16}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Aplico a regra de potência para primitiva: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 5

Substituo esse resultado na expressão com o coeficiente -\dfrac{3}{16}:
-\frac{3}{16}\int u^{1/2}\,du = -\frac{3}{16}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Simplificando os coeficientes:
-\frac{3}{16}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{1}{8}.
Logo a primitiva em termos de u é
-\frac{1}{8}u^{3/2}+C.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=1-4x^{4}:
-\frac{1}{8}\bigl(1-4x^{4}\bigr)^{3/2}+C.

Passo 7

Para ganhar confiança, verifico rapidamente derivando essa primitiva (checagem por derivação):
\frac{d}{dx}\left[-\frac{1}{8}\bigl(1-4x^{4}\bigr)^{3/2}\right] = -\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{2}\bigl(1-4x^{4}\bigr)^{1/2}\cdot(-16x^{3}).
Calculando os coeficientes:
-\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{2}\cdot(-16) = 3,
portanto a derivada fica
3x^{3}\bigl(1-4x^{4}\bigr)^{1/2},
que é exatamente a integranda. Tudo confere.

Resposta

-\frac{1}{8}\bigl(1-4x^{4}\bigr)^{3/2}+C

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