Seja \sum_{n=0}^{+\infty} c_{n}(x-a)^{n} uma série de potências, \operatorname{com} c_{n} \geq 0. Marque a alternativa INCORRETA.
(a) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{c_{n}}=+\infty, então a série converge apenas para x=a.
(b) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{c_{n}}=0, então a série converge para todo x \in \mathbb{R}.
(c) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{c_{n}}=\frac{1}{k}, k \in \mathbb{R}_{+}^{*}, então a série diverge para todo x \in(a-k, a+k).
(d) Se \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{c_{n}}=k, k \in \mathbb{R}_{+}^{*}, então a série converge para x=a.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{+\infty} c_{n}(x-a)^{n}
com c_{n}\ge 0 para todo n, e pede que marquemos a alternativa INCORRETA entre:
(a) Se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=+\infty, então a série converge apenas para x=a.
(b) Se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=0, então a série converge para todo x\in\mathbb{R}.
(c) Se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=\frac{1}{k}, k\in\mathbb{R}_+^*, então a série diverge para todo x\in(a-k,a+k).
(d) Se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=k, k\in\mathbb{R}_+^*, então a série converge para x=a.

Passo 2

Conceito-chave: teste da raiz e raio de convergência de uma série de potências.
  • Para uma série numérica \sum a_n, o teste da raiz diz que se
    \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L,
    então a série converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1. Se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Para a nossa série de potências usamos a_n = c_n (x-a)^n. Então
    \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{c_n}\,|x-a|.
    Defina
    L := \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}.
    Então
    \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = L\,|x-a|.
    Aplicando o teste da raiz, a série converge absolutamente quando
    L\,|x-a| < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x-a| < \frac{1}{L},
    e diverge quando L\,|x-a|>1. Portanto o raio de convergência R é
    R = \frac{1}{L},
    com as convensões: se L=0 então R=+\infty (converge para todo x); se L=+\infty então R=0 (converge apenas em x=a).

Passo 3

Análise da alternativa (a).
  • Hipótese: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} = +\infty. Então L=+\infty e, segundo a fórmula acima, R=0.
  • Isso significa que a série só pode convergir quando |x-a|<0, ou seja, apenas em x=a. Para qualquer x\ne a temos L|x-a|=+\infty>1 e divergência.
  • Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Análise da alternativa (b).
  • Hipótese: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} = 0. Então L=0 e R=+\infty.
  • Isso significa que a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
  • Exemplo concreto para intuir: se c_n = 1/n! então \sqrt[n]{c_n}\to 0 e a série converge para todo x.
  • Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 5

Análise da alternativa (c).
  • Hipótese: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} = \dfrac{1}{k} com k>0. Então L=\dfrac{1}{k} e, pela fórmula do raio, R=\dfrac{1}{L}=k.
  • Pelo teste da raiz, para qualquer x com |x-a|<k temos L\,|x-a| = \frac{1}{k}\,|x-a| < 1,logo a série converge absolutamente para todo x em (a-k,a+k).
  • A alternativa (c) afirma o oposto: que a série diverge para todo x\in(a-k,a+k). Isso contradiz o que acabamos de deduzir.
  • Exemplinho direto: tome c_n=\left(\dfrac{1}{k}\right)^n. Então \sqrt[n]{c_n}=1/k e a série é a geométrica \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x-a}{k}\right)^n,que converge exatamente quando |x-a|<k.
  • Conclusão: a alternativa (c) é incorreta.

Passo 6

Análise da alternativa (d).
  • Hipótese: \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} = k com k>0. Então L=k e R=1/k.
  • A afirmação é que a série converge para x=a. Isso é sempre verdadeiro para qualquer série de potências: em x=a temos (x-a)^n=0 para todo n\ge1, então a soma reduz-se a c_0 (uma soma finita), logo converge.
  • Portanto (d) é verdadeira (independentemente do valor de k).

Resposta

(c)

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