Seja
uma série de potências,
. Marque a alternativa INCORRETA.
(a) Se
, então a série converge apenas para
.
(b) Se
, então a série converge para todo
.
(c) Se
, então a série diverge para todo
.
(d) Se
, então a série converge para
.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
com
para todo
, e pede que marquemos a alternativa INCORRETA entre:
(a) Se
, então a série converge apenas para
.
(b) Se
, então a série converge para todo
.
(c) Se
,
, então a série diverge para todo
.
(d) Se
,
, então a série converge para
.
Passo 2
Conceito-chave: teste da raiz e raio de convergência de uma série de potências.
-
Para uma série numérica
, o teste da raiz diz que se então a série converge absolutamente see diverge se . Se o teste é inconclusivo. -
Para a nossa série de potências usamos
. Então DefinaEntãoAplicando o teste da raiz, a série converge absolutamente quandoe diverge quando. Portanto o raio de convergência é com as convensões: seentão (converge para todo ); se então (converge apenas em ).
Passo 3
Análise da alternativa (a).
- Hipótese:
. Então e, segundo a fórmula acima, . - Isso significa que a série só pode convergir quando
, ou seja, apenas em . Para qualquer temos e divergência. - Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Análise da alternativa (b).
- Hipótese:
. Então e . - Isso significa que a série converge absolutamente para todo
. - Exemplo concreto para intuir: se
então e a série converge para todo . - Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 5
Análise da alternativa (c).
- Hipótese:
com . Então e, pela fórmula do raio, . - Pelo teste da raiz, para qualquer
com temos logo a série converge absolutamente para todo em . - A alternativa (c) afirma o oposto: que a série diverge para todo
. Isso contradiz o que acabamos de deduzir. - Exemplinho direto: tome
. Então e a série é a geométrica que converge exatamente quando . - Conclusão: a alternativa (c) é incorreta.
Passo 6
Análise da alternativa (d).
- Hipótese:
com . Então e . - A afirmação é que a série converge para
. Isso é sempre verdadeiro para qualquer série de potências: em temos para todo , então a soma reduz-se a (uma soma finita), logo converge. - Portanto (d) é verdadeira (independentemente do valor de
).
Resposta
(c)