Calcule as integrais abaixo.
\int w^{2} \ln (w) d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int w^{2}\ln(w)\,dw.
O método mais adequado aqui é a integração por partes, cuja fórmula geral é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(w), \quad dv = w^{2}\,dw,
porque a derivada de \ln(w) simplifica o logaritmo e w^2 é fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{1}{w}\,dw, \qquad v = \int w^{2}\,dw = \frac{w^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int w^{2}\ln(w)\,dw = u\,v - \int v\,du = \frac{w^{3}}{3}\ln(w) - \int \frac{w^{3}}{3}\cdot\frac{1}{w}\,dw.

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
\int \frac{w^{3}}{3}\cdot\frac{1}{w}\,dw = \frac{1}{3}\int w^{2}\,dw = \frac{1}{3}\cdot\frac{w^{3}}{3} = \frac{w^{3}}{9}.
Logo, a integral original fica
\int w^{2}\ln(w)\,dw = \frac{w^{3}}{3}\ln(w) - \frac{w^{3}}{9} + C.

Resposta

\frac{w^{3}}{3}\ln(w) \;-\; \frac{w^{3}}{9} \;+\; C.

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