Calcule as integrais abaixo.
\int t e^{3 t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int t e^{3t}\,\mathrm d t
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,\mathrm d v = u\,v - \int v\,\mathrm d u.

Passo 2

Escolhemos as funções u e \mathrm d v de modo a simplificar a integral:
u = t, \quad \mathrm d v = e^{3t}\,\mathrm d t.

Passo 3

Calculamos \mathrm d u e v:
\mathrm d u = \mathrm d t,
v = \int e^{3t}\,\mathrm d t = \frac{1}{3}\,e^{3t}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
\int t e^{3t}\,\mathrm d t = u\,v - \int v\,\mathrm d u = t\cdot\frac{1}{3}e^{3t} - \int \frac{1}{3}e^{3t}\,\mathrm d t.

Passo 5

Agora simplificamos a segunda integral:
\int t e^{3t}\,\mathrm d t = \frac{t}{3}e^{3t} - \frac{1}{3}\int e^{3t}\,\mathrm d t = \frac{t}{3}e^{3t} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3t} + C = e^{3t}\Bigl(\frac{t}{3} - \frac{1}{9}\Bigr) + C.

Resposta

\int t e^{3t}\,\mathrm d t = \frac{e^{3t}(3t - 1)}{9} + C.

Exercícios relacionados