Calcule as integrais abaixo.
\int\left(x^{2}+2 x+1\right) e^{7 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \bigl(x^{2} + 2x + 1\bigr)\,e^{7x}\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de um polinômio multiplicado por uma exponencial. Podemos usar o método de integração por partes repetidas ou então a fórmula geral para \displaystyle \int P(x)e^{ax}\,dx, onde P é polinômio e a\neq 0.

Passo 2

A fórmula geral diz que, se P é de grau n, então
\int P(x)e^{ax}\,dx = e^{ax}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{P^{(k)}(x)}{a^{k+1}} + C,
onde P^{(k)} é a k-ésima derivada de P. Aqui temos
P(x)=x^{2}+2x+1,\quad a=7,
P'(x)=2x+2,\quad P''(x)=2,\quad P^{(3)}(x)=0.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
\int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = e^{7x}\Biggl( \frac{P(x)}{7} - \frac{P'(x)}{7^{2}} + \frac{P''(x)}{7^{3}} \Biggr) + C.
Substituindo P, P' e P'':
= e^{7x}\Bigl( \frac{x^{2}+2x+1}{7} - \frac{2x+2}{49} + \frac{2}{343} \Bigr) + C.

Passo 4

Colocamos tudo sobre um denominador comum 343=7^{3}:
\frac{x^{2}+2x+1}{7} = \frac{49x^{2}+98x+49}{343},\quad \frac{2x+2}{49} = \frac{14x+14}{343},\quad \frac{2}{343} = \frac{2}{343}.
Logo o conteúdo do parêntese é
\frac{49x^{2}+98x+49 - (14x+14) + 2}{343} = \frac{49x^{2}+84x+37}{343}.
Portanto
\int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = \frac{e^{7x}\,\bigl(49x^{2}+84x+37\bigr)}{343} + C.

Resposta

\boxed{ \int (x^{2}+2x+1)e^{7x}\,dx = \frac{e^{7x}\,(49x^{2}+84x+37)}{343} + C }.

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