Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial indicado:
2 \frac{d y}{d t}+y=0, \quad y(0)=3 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
2\frac{dy}{dt}+y=0,\qquad y(0)=3.
Informações fornecidas:
\text{(i) A equação diferencial: }2\frac{dy}{dt}+y=0.çã
\text{(ii) A condição inicial: }y(0)=3.çã
A tarefa é encontrar y(t) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro, defino a transformada e a propriedade da derivada que vamos usar.
Definição da transformada de Laplace de uma função f(t):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e \mathcal{L}\{f(t)\}(s) é uma função de s. No contexto, escrevemos F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Propriedade da derivada (muito usada): se y(t) tem transformada Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Explicação rápida (integração por partes): \mathcal{L}\{y'(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt
usando integração por partes com u=e^{-st}, dv=y'(t)dt
\mathcal{L}\{y'(t)\}=\big[e^{-st}y(t)\big]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt = sY(s)-y(0),
assumindo que e^{-st}y(t)\to0 quando t\to\infty para \Re(s) grande o suficiente.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial
2\frac{dy}{dt}+y=0.
Usando linearidade da transformada e a propriedade da derivada obtemos
2\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)+\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=0.
Substituindo \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s) temos
2\big(sY(s)-y(0)\big)+Y(s)=0.

Passo 4

Agora substituímos a condição inicial y(0)=3 na expressão do passo anterior:
2\big(sY(s)-3\big)+Y(s)=0.
Desenvolvendo:
2sY(s)-6+Y(s)=0.
Agrupando Y(s):
(2s+1)Y(s)=6.
Logo
Y(s)=\frac{6}{2s+1}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
Y(s)=\frac{3}{s+\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa. Lembramos que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-at}.
No nosso caso Y(s)=\dfrac{3}{s+\tfrac{1}{2}}=3\cdot\dfrac{1}{s+\tfrac{1}{2}}. Portanto
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=3\,e^{-\tfrac{1}{2}t}.
Ou seja, a solução encontrada é y(t)=3e^{-t/2}.

Passo 6

Verificação rápida: calcule y'(t) e substitua na equação original.
y'(t)=3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)e^{-t/2}=-\tfrac{3}{2}e^{-t/2}.
Então
2y'(t)+y(t)=2\left(-\tfrac{3}{2}e^{-t/2}\right)+3e^{-t/2}=-3e^{-t/2}+3e^{-t/2}=0,
e y(0)=3e^{0}=3. Ambas as condições são satisfeitas, confirmação de que a solução está correta.

Passo 7

Resumo prático para provas: transformar a EDO reduz o problema a uma equação algébrica em Y(s); usar \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0); resolver para Y(s) e aplicar \mathcal{L}^{-1}. Para equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes esse processo é rápido, como aqui.

Resposta

y(t)=3e^{-t/2}

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