Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial indicado:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
A tarefa é encontrar
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos usar a Transformada de Laplace. Primeiro, defino a transformada e a propriedade da derivada que vamos usar.
Definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa da transformada e
é uma função de
. No contexto, escrevemos
.
Propriedade da derivada (muito usada): se
tem transformada
, então
Explicação rápida (integração por partes):
usando integração por partes com
,
dá
assumindo que
quando
para
grande o suficiente.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial
Usando linearidade da transformada e a propriedade da derivada obtemos
Substituindo
e
temos
Passo 4
Agora substituímos a condição inicial
na expressão do passo anterior:
Desenvolvendo:
Agrupando
:
Logo
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa. Lembramos que
No nosso caso
. Portanto
Ou seja, a solução encontrada é
.
Passo 6
Verificação rápida: calcule
e substitua na equação original.
Então
e
. Ambas as condições são satisfeitas, confirmação de que a solução está correta.
Passo 7
Resumo prático para provas: transformar a EDO reduz o problema a uma equação algébrica em
; usar
; resolver para
e aplicar
. Para equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes esse processo é rápido, como aqui.