Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada da função:
  • y=(\ln x)^{\cos x}
  • y=x^{1 / x}
  • y=x^{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando derivação logarítmica, as derivadas das três funções:
  • y=(\ln x)^{\cos x}.
  • y=x^{1/x}.
  • y=x^{e^{x}}.
Para cada uma delas vou listar o domínio (quando necessário) e devolver a derivada y'.

Passo 2

Vou explicar a ideia da derivação logarítmica (a “ferramenta” que o enunciado pediu) e as regras que vou usar, de forma bem didática.
  • Quando a função tem a forma \,y = u(x)^{v(x)} com u(x)>0 (para que \ln u(x) exista e a potência seja real), é muito conveniente aplicar logaritmo natural em ambos os lados para “trazer o expoente para frente”:
\ln y = v(x)\,\ln u(x).
  • Em seguida diferenciamos implicitamente em relação a x. Pelo lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln y é \dfrac{y'}{y}. Pelo lado direito usamos produto e cadeia conforme necessário.
  • Resultado geral (útil como fórmula pronta):
\frac{y'}{y}=v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)},
portanto
y'=y\Big(v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\Big).
  • Relembrando regras básicas que vou usar:
    • \dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\dfrac{1}{x}.
    • \dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
    • Derivada do produto: \dfrac{d}{dx}\big(fg\big)=f'g+fg'.
    • Derivada da função composta (cadeia): \dfrac{d}{dx}\big(\ln(u(x))\big)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Agora aplico o método função a função, mostrando todos os passos.

Passo 3

Função 1: y=(\ln x)^{\cos x}.
  • Domínio para que a função seja real pelo método usado: é necessário \ln x>0, ou seja x>1. (Se 0<x<1 tem \ln x<0 e potências com expoente não inteiro ficam complicadas no real.)
  • Identifico u(x)=\ln x e v(x)=\cos x.
  • Tomando logaritmo:
\ln y = \cos x\cdot \ln(\ln x).
  • Derivo ambos os lados. Lado esquerdo: \dfrac{y'}{y}. Lado direito: é produto entre \cos x e \ln(\ln x), então
\frac{y'}{y} = (\cos x)'\ln(\ln x) + \cos x\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln(\ln x)\big).
  • Calculo as derivadas parciais:
    • (\cos x)' = -\sin x.
    • \dfrac{d}{dx}\big(\ln(\ln x)\big)=\dfrac{1}{\ln x}\cdot \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{\ln x}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x\ln x}.
  • Substituindo:
\frac{y'}{y} = -\sin x\cdot \ln(\ln x) + \cos x\cdot \frac{1}{x\ln x}.
  • Finalmente, multiplico por y para obter y'. Lembrando que y=(\ln x)^{\cos x}:
y'=(\ln x)^{\cos x}\left(-\sin x\cdot \ln(\ln x) + \frac{\cos x}{x\ln x}\right).

Passo 4

Função 2: y=x^{1/x}.
  • Domínio: é necessário x>0 para \ln x estar definido (base positiva).
  • Identifico u(x)=x e v(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Tomando logaritmo:
\ln y = \frac{1}{x}\ln x.
  • Derivo ambos os lados. Lado esquerdo: \dfrac{y'}{y}. Lado direito: produto entre \dfrac{1}{x} e \ln x. Então
\frac{y'}{y} = \left(\frac{1}{x}\right)'\ln x + \frac{1}{x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
  • Calculo as derivadas:
    • \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}}.
    • \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
  • Substituindo:
\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x^{2}}\ln x + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1-\ln x}{x^{2}}.
  • Multiplico por y (lembrando y=x^{1/x}) para obter y':
y' = x^{1/x}\cdot\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
  • Opcionalmente pode-se escrever como
y' = x^{1/x}\frac{1-\ln x}{x^{2}}.

Passo 5

Função 3: y=x^{e^{x}}.
  • Domínio: x>0 para \ln x existir (base positiva).
  • Identifico u(x)=x e v(x)=e^{x}.
  • Tomando logaritmo:
\ln y = e^{x}\ln x.
  • Derivo ambos os lados. Lado esquerdo: \dfrac{y'}{y}. Lado direito: produto entre e^{x} e \ln x. Então
\frac{y'}{y} = (e^{x})'\ln x + e^{x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
  • Calculo as derivadas:
    • (e^{x})' = e^{x}.
    • \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
  • Substituindo:
\frac{y'}{y} = e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\frac{1}{x} = e^{x}\Big(\ln x + \frac{1}{x}\Big).
  • Multiplico por y (onde y=x^{e^{x}}) para obter y':
y' = x^{e^{x}}\cdot e^{x}\Big(\ln x + \frac{1}{x}\Big).
  • Pode-se escrever também como
y' = e^{x}x^{e^{x}}\Big(\ln x + \frac{1}{x}\Big).

Resposta

y'=(\ln x)^{\cos x}\left(-\sin x\cdot \ln(\ln x) + \dfrac{\cos x}{x\ln x}\right)\n
y'=x^{1/x}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\n
y'=x^{e^{x}}\cdot e^{x}\Big(\ln x + \dfrac{1}{x}\Big)

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