Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada da função:
-
-
-
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando derivação logarítmica, as derivadas das três funções:
-
. -
. -
.
Para cada uma delas vou listar o domínio (quando necessário) e devolver a derivada
.
Passo 2
Vou explicar a ideia da derivação logarítmica (a “ferramenta” que o enunciado pediu) e as regras que vou usar, de forma bem didática.
- Quando a função tem a forma
com (para que exista e a potência seja real), é muito conveniente aplicar logaritmo natural em ambos os lados para “trazer o expoente para frente”:
-
Em seguida diferenciamos implicitamente em relação a
. Pelo lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Pelo lado direito usamos produto e cadeia conforme necessário. -
Resultado geral (útil como fórmula pronta):
portanto
- Relembrando regras básicas que vou usar:
-
. -
. - Derivada do produto:
. - Derivada da função composta (cadeia):
.
-
Agora aplico o método função a função, mostrando todos os passos.
Passo 3
Função 1:
.
- Domínio para que a função seja real pelo método usado: é necessário
, ou seja . (Se tem e potências com expoente não inteiro ficam complicadas no real.) - Identifico
e . - Tomando logaritmo:
- Derivo ambos os lados. Lado esquerdo:
. Lado direito: é produto entre e , então
- Calculo as derivadas parciais:
-
. -
.
-
- Substituindo:
- Finalmente, multiplico por
para obter . Lembrando que :
Passo 4
Função 2:
.
- Domínio: é necessário
para estar definido (base positiva). - Identifico
e . - Tomando logaritmo:
- Derivo ambos os lados. Lado esquerdo:
. Lado direito: produto entre e . Então
- Calculo as derivadas:
-
. -
.
-
- Substituindo:
- Multiplico por
(lembrando ) para obter :
- Opcionalmente pode-se escrever como
Passo 5
Função 3:
.
- Domínio:
para existir (base positiva). - Identifico
e . - Tomando logaritmo:
- Derivo ambos os lados. Lado esquerdo:
. Lado direito: produto entre e . Então
- Calculo as derivadas:
-
. -
.
-
- Substituindo:
- Multiplico por
(onde ) para obter :
- Pode-se escrever também como