( \mathbf{5}, \mathbf{5} pontos) Dada a função f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-x-2}. Faça o que se pede:
(a) (0,5 pontos ) Determine o domínio da função f;
(b) (0,5 pontos ) Determine as interseções com os eixos coordenados;
(c) (\mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Determine as assíntotas verticais e horizontais.
(d) (\mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
(e) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Determine os pontos críticos e classifique-os como máximo ou mínimo locais (ou globais).
(f) ( \mathbf{1}, \mathbf{0} ponto) Determine a concavidade e pontos de inflexão (caso existam);
(g) ( 0,5 pontos) Esboce o gráfico da função indicando as informações coletadas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado fornece a função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-x-2} e pede as seguintes informações:
(a) o domínio de f;
(b) as interseções com os eixos coordenados;
(c) as assíntotas verticais e horizontais;
(d) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os pontos críticos e sua classificação (máximo/minimo local ou global);
(f) a concavidade e pontos de inflexão;
(g) um esboço do gráfico indicando as informações anteriores.
Informações dadas relevantes que já vemos no enunciado: a expressão de f como quociente de polinômios, com numerador \,x^{2}\, e denominador \,x^{2}-x-2\,. Neste problema vamos usar fatos sobre funções racionais (não podemos ter denominador zero), derivadas (regra do quociente) para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas. A resolução começa agora.

Passo 2

Determinar o domínio: precisamos achar os x que anulam o denominador e excluí‑los. Fatoro o denominador:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
As raízes deste polinômio são x=2 e x=-1, portanto o denominador é zero exatamente nesses pontos. Como a função é racional sem cancelamento de fator com o numerador (o numerador é x^{2}, que não tem fator (x-2) nem (x+1)), devemos excluir x=2 e x=-1 do domínio. Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\; x\neq 2\}.

Passo 3

Interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y (valor em x=0): calcu­lo
f(0)=\frac{0^{2}}{0^{2}-0-2}=\frac{0}{-2}=0.
Portanto o ponto é (0,0).
  • Interseções com o eixo x (raízes de f): resolvo f(x)=0. Como f(x)=\dfrac{x^{2}}{\cdots}, o numerador x^{2}=0 implica x=0. Verifico que x=0 não anula o denominador (denom = -2 em x=0), então x=0 é raiz válida. Não há outras raízes. Logo a interseção com o eixo x é também (0,0).
Resumo: única interseção com eixos é o ponto (0,0).

Passo 4

Assíntotas verticais e comportamento próximo a elas:
Como o denominador é zero em x=-1 e x=2 e não ocorre cancelamento com o numerador, há assíntotas verticais em x=-1 e x=2.
Agora estudo os limites laterais para saber o comportamento na vizinhança:
  • Comportamento em x\to 2^\pm. Para x próximo de 2, x+1 é positivo (≈3) e o sinal do denominador é dado pelo fator x-2. O numerador em x\approx 2 é x^{2}\approx 4>0. Assim
\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty.
  • Comportamento em x\to -1^\pm. Perto de -1 temos x-2\approx -3 (negativo) e o sinal do denominador é controlado por x+1. O numerador em x\approx -1 é \approx 1>0. Assim
\lim_{x\to -1^{-}}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -1^{+}}f(x)=-\infty.
Assíntota horizontal: comparar graus do numerador e do denominador. Ambos têm grau 2, então a assíntota horizontal é a reta com coeficiente líder do numerador sobre o coeficiente líder do denominador, isto é
y=\frac{1}{1}=1.
Podemos confirmar calculando \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1.

Passo 5

Cálculo da derivada e análise de monotonicidade (aulas rápidas e passo a passo):
Regra do quociente (lembrete): para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u,v diferenciáveis e v\neq0, temos
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=x^{2}-x-2. Então u'(x)=2x e v'(x)=2x-1. Aplico a regra:
f'(x)=\frac{2x(x^{2}-x-2)-x^{2}(2x-1)}{(x^{2}-x-2)^{2}}.
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
2x(x^{2}-x-2)=2x^{3}-2x^{2}-4x,
x^{2}(2x-1)=2x^{3}-x^{2},
subtraindo:
\text{num} = (2x^{3}-2x^{2}-4x)-(2x^{3}-x^{2})=-x^{2}-4x=-x(x+4).
Assim
\boxed{\,f'(x)=\dfrac{-x(x+4)}{(x^{2}-x-2)^{2}}\,.}
Observações importantes: o denominador (x^{2}-x-2)^{2} é sempre positivo para x no domínio (exceto em -1,2 onde é zero e a derivada não existe). Portanto o sinal de f' é dado apenas pelo numerador -x(x+4).
Zeramos o numerador para achar pontos onde f'=0:
-x(x+4)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=-4.
Derivada não existe (pontos de descontinuidade) em x=-1 e x=2 (mas estes não pertencem ao domínio).
Agora construo o quadro de sinais. Particiono a reta por -\infty, -4, -1, 0, 2, +\infty. Escolho pontos teste em cada intervalo e avalio o sinal de -x(x+4):
  • Para x<-4 (ex.: x=-5): -x(x+4)=-(-5)(-1)=-5<0 f'<0 (decrescente).
  • Para -4<x<-1 (ex.: x=-2): -x(x+4)=-(-2)(2)=+4>0 f'>0 (crescente).
  • Para -1<x<0 (ex.: x=-0,5): -x(x+4)>0 f'>0 (crescente).
  • Para 0<x<2 (ex.: x=1): -x(x+4)=-1\cdot5=-5<0 f'<0 (decrescente).
  • Para x>2 (ex.: x=3): idem f'<0 (decrescente).
Portanto os intervalos de monotonicidade são:
  • f decresce em (-\infty,-4), em (0,2) e em (2,+\infty).
  • f cresce em (-4,-1) e em (-1,0).

Passo 6

Pontos críticos e classificação (máximo/minimo locais):
Pontos críticos no domínio são onde f'(x)=0: x=-4 e x=0. Avalio a natureza desses pontos usando a mudança de sinal de f' (teste da primeira derivada):
  • Em x=-4: à esquerda de -4 f'<0 e à direita (até -1) f'>0. Isso indica mudança de decrescente → crescente, logo x=-4 é um ponto de mínimo local. Calculo o valor:
f(-4)=\frac{(-4)^{2}}{(-4)^{2}-(-4)-2}=\frac{16}{16+4-2}=\frac{16}{18}=\frac{8}{9}.
  • Em x=0: à esquerda (em (-1,0)) f'>0 e à direita (em (0,2)) f'<0. Isso indica crescente → decrescente, logo x=0 é ponto de máximo local. Valor:
f(0)=0.
Sobre máximo/minimo global: como \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=1 e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=1, e existem valores maiores que 0 (por exemplo perto de +\infty a função aproxima 1), o ponto x=0 com valor 0 não é máximo global. O ponto x=-4 com valor 8/9 também não é mínimo global pois a função atinge valores arbitrariamente negativos perto das assíntotas; portanto ambos são extremos locais apenas.

Passo 7

Cálculo da segunda derivada e concavidade (passo a passo):
Parto de f'(x)=\dfrac{-x(x+4)}{(x^{2}-x-2)^{2}}. Para f'' uso novamente a regra do quociente: se f'=\dfrac{N(x)}{D(x)} então
f''=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Aqui N(x)=-x^{2}-4x (ou -x(x+4)) e D(x)=(x^{2}-x-2)^{2}.
Calculo as derivadas:
N'(x)=-2x-4,\qquad D'(x)=2(x^{2}-x-2)\cdot(2x-1).
Aplicando e simplificando com cuidado (mostro o resultado simplificado):
\boxed{\,f''(x)=\dfrac{2\bigl(x^{3}+6x^{2}+4\bigr)}{(x^{2}-x-2)^{3}}\,.}
(Os passos algébricos são: fazer N' D - N D', fatorar x^{2}-x-2 comum e cancelar potências, ficando a expressão acima.)
Para estudar concavidade, o sinal de f'' depende do sinal do numerador C(x)=x^{3}+6x^{2}+4 e do sinal de A(x)=x^{2}-x-2=(x-2)(x+1) (pois o denominador é A(x)^{3} e o sinal de A^{3} é o mesmo de A).
Primeiro encontro raízes de C(x). Não há raízes inteiras simples; usando bissecção rápida ou avaliação vemos que C(x)>0 para x\ge -6 (por exemplo C(-6)=4>0) e C(x)<0 para x suficientemente negativo (por exemplo C(-7)=-45). Assim existe exatamente uma raiz real r com
r\approx -6{,}12 \quad\text{(aproximação numérica obtida por bissecção)}.çãéçã
Essa raiz r pertence ao domínio (não é -1 nem 2), logo é candidata a ponto de inflexão se ocorrer mudança de concavidade.
Agora analiso o sinal em intervalos determinados pelos pontos críticos do denominador e pelo r: particiono em (-\infty,r), (r,-1), (-1,2), (2,\infty). Lembro que A(x)=(x-2)(x+1) tem sinal positivo em x<-1 e em x>2, e negativo em -1<x<2.
  • Para x<r (por exemplo x=-7): C(x)<0 e A(x)>0 (pois -7<-1). Assim f''(x)=2C/A^{3}<0 → concavidade para baixo.
  • Para r<x<-1 (por exemplo x=-4): C(x)>0 e A(x)>0 f''>0 → concavidade para cima.
  • Para -1<x<2 (por exemplo x=0): C(x)>0 e A(x)<0 f''<0 → concavidade para baixo.
  • Para x>2 (por exemplo x=3): C(x)>0 e A(x)>0 f''>0 → concavidade para cima.
Conclusões sobre concavidade e pontos de inflexão:
  • A função é côncava para baixo em (-\infty,r) e em (-1,2).
  • A função é côncava para cima em (r,-1) e em (2,+\infty).
  • Há um ponto de inflexão em x=r\approx -6{,}12 (pois f'' muda de sinal aí). O valor da função nesse ponto é aproximadamente
f(r)\approx \frac{r^{2}}{r^{2}-r-2}\approx \frac{(-6{,}12)^{2}}{(-6{,}12)^{2}-(-6{,}12)-2}\approx 0{,}90\\ \text{(aprox.)}.
Portanto ponto de inflexão aproximado (\, -6{,}12,\;0{,}90\,).

Passo 8

Resumo do comportamento assintótico e sinais (útil para esboçar o gráfico):
  • Assíntotas verticais em x=-1 e x=2 com comportamentos: \lim_{x\to -1^-} f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to -1^+} f(x)=-\infty,
\lim_{x\to 2^-} f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to 2^+} f(x)=+\infty.
  • Assíntota horizontal y=1 com \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1.
  • Interseção com os eixos: (0,0).
  • Extremos locais: mínimo local em x=-4 com f(-4)=8/9; máximo local em x=0 com f(0)=0.
  • Inflection aproximado em x\approx -6{,}12 com f\approx 0{,}90.
  • Monotonicidade: cresce em (-4,-1) e (-1,0); decresce em (-\infty,-4), (0,2), (2,\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-6{,}12) e (-1,2); côncava para cima em (-6{,}12,-1) e (2,\infty).

Passo 9

Esboço do gráfico (instruções e pontos-chave para desenhar):
  1. Trace as assíntotas verticais x=-1 e x=2 (linhas tracejadas) e a assíntota horizontal y=1.
  2. Marque o ponto de intersecção (0,0).
  3. Marque o extremo local: mínimo em (-4,\tfrac{8}{9}) e máximo local em (0,0).
  4. Marque o ponto de inflexão aproximado \bigl(-6{,}12,\;0{,}90\bigr).
  5. Desenhe os ramos respeitando os limites laterais: à esquerda de -1 o gráfico tende a +\infty quando x\to-1^{-} e tende a 1 quando x\to-\infty; entre -1 e 2 o gráfico vem de -\infty em -1^{+}, passa por o máximo em 0 e vai a -\infty em 2^{-}; para x>2 sai de +\infty em 2^{+} e decresce aproximando y=1 por baixo. Respeite a concavidade em cada intervalo conforme indicado.
Com esses pontos e comportamentos fica claro o formato típico de função racional com duas assíntotas verticais e uma horizontal em y=1.

Resposta

(a) \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\; x\neq 2\}.
(b) Interseção com os eixos: (0,0).
(c) Assíntotas verticais: x=-1 e x=2. Assíntota horizontal: y=1. Limites próximos às verticais: \lim_{x\to -1^-}f(x)=+\infty,\\ \lim_{x\to -1^+}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.
(d) Cresce em (-4,-1) e em (-1,0). Decresce em (-\infty,-4), em (0,2) e em (2,\infty).
(e) Pontos críticos: x=-4 (mínimo local) com f(-4)=\tfrac{8}{9}; x=0 (máximo local) com f(0)=0.
(f) Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-6{,}12) e em (-1,2); côncava para cima em (-6{,}12,-1) e em (2,\infty). Ponto de inflexão aproximado: \bigl(-6{,}12,\;0{,}90\bigr).
(g) Esboço: gráfico com assíntotas verticais x=-1,\,x=2, assíntota horizontal y=1, interseção (0,0), mínimo local (-4,\tfrac{8}{9}), máximo local (0,0) e ponto de inflexão aproximado (-6{,}12,0{,}90); comportamentos laterais conforme os limites indicados no item (c).

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