(
pontos) Dada a função
. Faça o que se pede:
(a)
pontos
Determine o domínio da função
;
(b)
pontos
Determine as interseções com os eixos coordenados;
(c)
ponto) Determine as assíntotas verticais e horizontais.
(d)
ponto) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
(e) (
ponto) Determine os pontos críticos e classifique-os como máximo ou mínimo locais (ou globais).
(f) (
ponto) Determine a concavidade e pontos de inflexão (caso existam);
(g) ( 0,5 pontos) Esboce o gráfico da função indicando as informações coletadas nos itens anteriores.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (
(f) (
(g) ( 0,5 pontos) Esboce o gráfico da função indicando as informações coletadas nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede as seguintes informações:
(a) o domínio de ;
(b) as interseções com os eixos coordenados;
(c) as assíntotas verticais e horizontais;
(d) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os pontos críticos e sua classificação (máximo/minimo local ou global);
(f) a concavidade e pontos de inflexão;
(g) um esboço do gráfico indicando as informações anteriores.
(a) o domínio de
(b) as interseções com os eixos coordenados;
(c) as assíntotas verticais e horizontais;
(d) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os pontos críticos e sua classificação (máximo/minimo local ou global);
(f) a concavidade e pontos de inflexão;
(g) um esboço do gráfico indicando as informações anteriores.
Informações dadas relevantes que já vemos no enunciado: a expressão de
como quociente de polinômios, com numerador
e denominador
. Neste problema vamos usar fatos sobre funções racionais (não podemos ter denominador zero), derivadas (regra do quociente) para monotonicidade e concavidade, e limites para assíntotas. A resolução começa agora.
Passo 2
Determinar o domínio: precisamos achar os
que anulam o denominador e excluí‑los. Fatoro o denominador:
As raízes deste polinômio são
e
, portanto o denominador é zero exatamente nesses pontos. Como a função é racional sem cancelamento de fator com o numerador (o numerador é
, que não tem fator
nem
), devemos excluir
e
do domínio. Logo o domínio é
Passo 3
Interseções com os eixos:
- Interseção com o eixo
(valor em ): calculo
Portanto o ponto é
.
- Interseções com o eixo
(raízes de ): resolvo . Como , o numerador implica . Verifico que não anula o denominador (denom = em ), então é raiz válida. Não há outras raízes. Logo a interseção com o eixo é também .
Resumo: única interseção com eixos é o ponto
.
Passo 4
Assíntotas verticais e comportamento próximo a elas:
Como o denominador é zero em
e
e não ocorre cancelamento com o numerador, há assíntotas verticais em
e
.
Agora estudo os limites laterais para saber o comportamento na vizinhança:
- Comportamento em
. Para próximo de , é positivo (≈3) e o sinal do denominador é dado pelo fator . O numerador em é . Assim
- Comportamento em
. Perto de temos (negativo) e o sinal do denominador é controlado por . O numerador em é . Assim
Assíntota horizontal: comparar graus do numerador e do denominador. Ambos têm grau
, então a assíntota horizontal é a reta com coeficiente líder do numerador sobre o coeficiente líder do denominador, isto é
Podemos confirmar calculando
.
Passo 5
Cálculo da derivada e análise de monotonicidade (aulas rápidas e passo a passo):
Regra do quociente (lembrete): para
com
diferenciáveis e
, temos
Aqui
e
. Então
e
. Aplico a regra:
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
subtraindo:
Assim
Observações importantes: o denominador
é sempre positivo para
no domínio (exceto em
onde é zero e a derivada não existe). Portanto o sinal de
é dado apenas pelo numerador
.
Zeramos o numerador para achar pontos onde
:
Derivada não existe (pontos de descontinuidade) em
e
(mas estes não pertencem ao domínio).
Agora construo o quadro de sinais. Particiono a reta por
. Escolho pontos teste em cada intervalo e avalio o sinal de
:
- Para
(ex.: ): → (decrescente). - Para
(ex.: ): → (crescente). - Para
(ex.: ): → (crescente). - Para
(ex.: ): → (decrescente). - Para
(ex.: ): idem (decrescente).
Portanto os intervalos de monotonicidade são:
-
decresce em , em e em . -
cresce em e em .
Passo 6
Pontos críticos e classificação (máximo/minimo locais):
Pontos críticos no domínio são onde
:
e
. Avalio a natureza desses pontos usando a mudança de sinal de
(teste da primeira derivada):
- Em
: à esquerda de e à direita (até ) . Isso indica mudança de decrescente → crescente, logo é um ponto de mínimo local. Calculo o valor:
- Em
: à esquerda (em ) e à direita (em ) . Isso indica crescente → decrescente, logo é ponto de máximo local. Valor:
Sobre máximo/minimo global: como
e
, e existem valores maiores que
(por exemplo perto de
a função aproxima 1), o ponto
com valor
não é máximo global. O ponto
com valor
também não é mínimo global pois a função atinge valores arbitrariamente negativos perto das assíntotas; portanto ambos são extremos locais apenas.
Passo 7
Cálculo da segunda derivada e concavidade (passo a passo):
Parto de
. Para
uso novamente a regra do quociente: se
então
Aqui
(ou
) e
.
Calculo as derivadas:
Calculo as derivadas:
Aplicando e simplificando com cuidado (mostro o resultado simplificado):
(Os passos algébricos são: fazer
, fatorar
comum e cancelar potências, ficando a expressão acima.)
Para estudar concavidade, o sinal de
depende do sinal do numerador
e do sinal de
(pois o denominador é
e o sinal de
é o mesmo de
).
Primeiro encontro raízes de
. Não há raízes inteiras simples; usando bissecção rápida ou avaliação vemos que
para
(por exemplo
) e
para
suficientemente negativo (por exemplo
). Assim existe exatamente uma raiz real
com
Essa raiz
pertence ao domínio (não é
nem
), logo é candidata a ponto de inflexão se ocorrer mudança de concavidade.
Agora analiso o sinal em intervalos determinados pelos pontos críticos do denominador e pelo
: particiono em
. Lembro que
tem sinal positivo em
e em
, e negativo em
.
-
Para
(por exemplo ): e (pois ). Assim → concavidade para baixo. -
Para
(por exemplo ): e → → concavidade para cima. -
Para
(por exemplo ): e → → concavidade para baixo. -
Para
(por exemplo ): e → → concavidade para cima.
Conclusões sobre concavidade e pontos de inflexão:
- A função é côncava para baixo em
e em . - A função é côncava para cima em
e em . - Há um ponto de inflexão em
(pois muda de sinal aí). O valor da função nesse ponto é aproximadamente
Portanto ponto de inflexão aproximado
.
Passo 8
Resumo do comportamento assintótico e sinais (útil para esboçar o gráfico):
- Assíntotas verticais em
e com comportamentos:
- Assíntota horizontal
com . - Interseção com os eixos:
. - Extremos locais: mínimo local em
com ; máximo local em com . - Inflection aproximado em
com . - Monotonicidade: cresce em
e ; decresce em , , . - Concavidade: côncava para baixo em
e ; côncava para cima em e .
Passo 9
Esboço do gráfico (instruções e pontos-chave para desenhar):
- Trace as assíntotas verticais
e (linhas tracejadas) e a assíntota horizontal . - Marque o ponto de intersecção
. - Marque o extremo local: mínimo em
e máximo local em . - Marque o ponto de inflexão aproximado
. - Desenhe os ramos respeitando os limites laterais: à esquerda de
o gráfico tende a quando e tende a quando ; entre e o gráfico vem de em , passa por o máximo em e vai a em ; para sai de em e decresce aproximando por baixo. Respeite a concavidade em cada intervalo conforme indicado.
Com esses pontos e comportamentos fica claro o formato típico de função racional com duas assíntotas verticais e uma horizontal em
.
Resposta
(a)
(b) Interseção com os eixos: .
(c) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
. Limites próximos às verticais:
(d) Cresce em e em
. Decresce em
, em
e em
.
(e) Pontos críticos: (mínimo local) com
;
(máximo local) com
.
(f) Concavidade: côncava para baixo em e em
; côncava para cima em
e em
. Ponto de inflexão aproximado:
(g) Esboço: gráfico com assíntotas verticais , assíntota horizontal
, interseção
, mínimo local
, máximo local
e ponto de inflexão aproximado
; comportamentos laterais conforme os limites indicados no item (c).
(b) Interseção com os eixos:
(c) Assíntotas verticais:
(d) Cresce em
(e) Pontos críticos:
(f) Concavidade: côncava para baixo em
(g) Esboço: gráfico com assíntotas verticais