Calcule as integrais abaixo.
integral 11-e^x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O que temos aqui é uma integral: integral 11 - e^x , dx. Nosso objetivo é calcular essa integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de substituição na integração, que ajuda a simplificar expressões complicadas tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar o denominador de u:
u = 1 - e^x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx:
dudx = -e^x
Isso significa que:
du = -e^x , dx Rightarrow dx = -due^x

Passo 4

Mas observamos que temos e^x no denominador original. Precisamos expressar e^x em termos de u:
u = 1 - e^x Rightarrow e^x = 1 - u

Passo 5

Substituindo e^x = 1 - u na expressão para dx, temos:
dx = -du1 - u

Passo 6

Agora, voltamos à integral original e substituímos tudo:
integral 1u cdot (-du1 - u) = -integral 1u(1 - u) , du

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor 1u(1 - u) em termos mais simples:
1u(1 - u) = Au + B1 - u
Resolvendo para A e B, encontramos que A = 1 e B = 1. Portanto:
1u(1 - u) = 1u + 11 - u

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
-integral ( 1u + 11 - u ) , du = -( ln|u| - ln|1 - u| ) + C

Passo 9

Agora, voltamos à variável original x. Lembrando que u = 1 - e^x:
-( ln|1 - e^x| - ln|e^x| ) + C = -ln|1 - e^x| + x + C

Resposta

A integral é igual a - ln|1 - e^x| + x + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados