Mostre que lim x 3(2 x^2-5 x+2)=5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função polinomial f(x)=2x²−5x+2 tem limite 5 quando x→3, usando a definição ε–δ de limite. Vamos aplicar teoria de limites de funções e a prova ε–δ.

Passo 2

Segundo a definição, devemos mostrar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se 0<|x−3|<δ, então |f(x)−5|<ε. Aqui f(x)−5 = 2x²−5x+2 −5.
Observe que
f(x)−5 = 2x²−5x−3 = (2x+1)(x−3) ²
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|f(x)−5| = |2x+1|cdot|x−3|

Passo 3

Para controlar |2x+1|, escolhemos δ≤1. Então, sempre que |x−3|<δ≤1, temos 2<x<4, e portanto
|2x+1| ≤ 2·4+1 = 9
Assim
|f(x)−5| = |2x+1|,|x−3| ≤ 9|x−3|

Passo 4

Agora basta escolher δ = min{1, ε/9}. Com essa escolha, sempre que 0<|x−3|<δ teremos
|f(x)−5| ≤ 9|x−3| < 9·(ε/9) = ε
Isso conclui a prova de que limₓ→3 (2x²−5x+2)=5.

Resposta

5

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