Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função polinomial f(x)=2x²−5x+2 tem limite 5 quando x→3, usando a definição ε–δ de limite. Vamos aplicar teoria de limites de funções e a prova ε–δ.
Passo 2
Segundo a definição, devemos mostrar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que, se 0<|x−3|<δ, então |f(x)−5|<ε. Aqui f(x)−5 = 2x²−5x+2 −5.
Observe que
Observe que
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Passo 3
Para controlar |2x+1|, escolhemos δ≤1. Então, sempre que |x−3|<δ≤1, temos 2<x<4, e portanto
Assim
Passo 4
Agora basta escolher δ = min{1, ε/9}. Com essa escolha, sempre que 0<|x−3|<δ teremos
Isso conclui a prova de que limₓ→3 (2x²−5x+2)=5.
Resposta
5