Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
O conteúdo é integração de funções que envolvem exponenciais e raízes, e vamos precisar usar uma mudança de variável que transforme o “1+e^{-u t}” numa expressão em uma única variável, além de conhecer a forma de uma integral representável por função hipergeométrica.
Passo 2
Para simplificar, fazemos a substituição
Além disso
Passo 3
Substituindo na integral original, obtemos
Passo 4
Agora reconhecemos a forma geral
onde aqui queremos
, ou seja
.
Passo 5
No nosso caso definimos
$$\alpha = \frac{n}{u},\qquad \beta=\frac32,\quad!1-\beta=-\tfrac12.
$$
Assim a parte integral fica
Passo 6
Voltando à nossa integral original e lembrando do fator
, temos
Como
, temos
, logo
.
Passo 7
Substituindo de volta
e simplificando, achamos a resposta final:
Passo 8
Resposta
-\frac{1}{n}e^{-n t};{}_2F_1\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{n}{u};\tfrac{n}{u}+1;-e^{-u t}\Bigr)+C