Calcule as integrais abaixo
integral(1+e^-u t)^12 e^-n t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral (1+e^-u t)^tfrac12,e^-n t,dt
O conteúdo é integração de funções que envolvem exponenciais e raízes, e vamos precisar usar uma mudança de variável que transforme o “1+e^{-u t}” numa expressão em uma única variável, além de conhecer a forma de uma integral representável por função hipergeométrica.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição
z = e^-u t Rightarrow t = -1uln z e dt = -1udzz
Além disso
e^-n t = e^-nl(-tfrac1uln zr) = z^tfracnu

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
I = integral (1+z)^tfrac12,z^tfracnu,l(-1udzzr) = -1uintegral z^tfracnu-1(1+z)^tfrac12,dz

Passo 4

Agora reconhecemos a forma geral
integral z^alpha-1(1+z)^beta-1,dz = z^alphaalpha;2F1l(1-beta,alpha;alpha+1;-zr)+C,
onde aqui queremos beta-1=tfrac12, ou seja beta=tfrac32.

Passo 5

No nosso caso definimos
$$\alpha = \frac{n}{u},\qquad \beta=\frac32,\quad!1-\beta=-\tfrac12.
$$
Assim a parte integral fica
alpha = nu, beta=32,!1-beta=-tfrac12

Passo 6

Voltando à nossa integral original e lembrando do fator -1/u), temos
I = -1ucdot z^alphaalpha;2F1l(-tfrac12,alpha;alpha+1;-zr)+C
Como alpha=n/u, temos ualpha=n, logo 1/(ualpha)=1/n.

Passo 7

Substituindo de volta z=e^-u t e simplificando, achamos a resposta final:

Passo 8

boxedintegral (1+e^-u t)^tfrac12e^-n t,dt = -1n,e^-n t;2F1l(-tfrac12,tfracnu;tfracnu+1;-e^-u tr)+C

Resposta

-\frac{1}{n}e^{-n t};{}_2F_1\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{n}{u};\tfrac{n}{u}+1;-e^{-u t}\Bigr)+C

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