Calcule as integrais abaixo
integral e^c^x e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^c^x,e^x,dx. Isso cai em integrais que não têm primitiva em termos de funções elementares, então vamos usar substituição e depois reconhecer uma forma de função Gama incompleta.

Passo 2

Fazemos a substituição u = c^x. Como u = e^xln c, diferenciando temos du = c^xln c,dx = uln c,dx, ou seja,
dx = duuln c Precisamos também escrever e^x em função de u. Da relação u = e^xln c tiramos x = tfracln uln c, logo
e^x = e^ln uln c = u^1ln c

Passo 3

Substituindo na integral original temos
integral e^c^x,e^x,dx = integral e^u;u^tfrac1ln c;duuln c = 1ln cintegral e^u,u^tfrac1ln c-1,du Reconhecemos agora o tipo integral u^a-1e^u,du, que se relaciona com a função Gama incompleta. Em particular, usando
integral u^a-1e^u,du = (-1)^-a,gammal(a,-ur)+C,
onde gamma(a,z) é a função Gama inferior incompleta.

Passo 4

Substituindo a = tfrac1ln c e voltando a u = c^x, chegamos ao resultado final.

Resposta

integral e^c^x,e^x,dx = (-1)^-1/ln cln c;gammal(tfrac1ln c,,-c^xr) + C, onde gamma é a função Gama inferior incompleta.

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