Calcule as integrais abaixo:
integral 1x^3+8 d x

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a integral integral 1x^3+8 , dx. Isso tá no campo da Cálculo Integral, especificamente usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração para integrar cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + 8. Isso é uma soma de cubos, e a fórmula para fatorar é:
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Aqui, a = x e b = 2, então:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos decompor a fração 1(x + 2)(x^2 - 2x + 4) em frações parciais. A ideia é escrever:
1(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = Ax + 2 + Bx + Cx^2 - 2x + 4
onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação por (x + 2)(x^2 - 2x + 4):
1 = A(x^2 - 2x + 4) + (Bx + C)(x + 2)
Expandindo o lado direito:
1 = A x^2 - 2A x + 4A + B x^2 + 2B x + C x + 2C
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + (-2A + 2B + C) x + (4A + 2C)
Isso nos dá um sistema de equações:
A + B = 0 -2A + 2B + C = 0 4A + 2C = 1
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, B = -A.
  2. Substituindo B = -A na segunda equação:
-2A + 2(-A) + C = 0 Rightarrow -4A + C = 0 Rightarrow C = 4A
  1. Substituindo A e C na terceira equação:
4A + 2(4A) = 1 Rightarrow 4A + 8A = 1 Rightarrow 12A = 1 Rightarrow A = 112
Então:
B = -112, C = 412 = 13

Passo 5

Agora que temos A, B e C, podemos reescrever a fração original:
1x^3 + 8 = 112x + 2 + -112x + 13x^2 - 2x + 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^3 + 8 , dx = 112 integral 1x + 2 , dx + integral -112x + 13x^2 - 2x + 4 , dx
Para o segundo integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3
Então, reescrevemos:
-112x + 13(x - 1)^2 + 3
Podemos separar isso em duas integrais:
-112 integral x - 1(x - 1)^2 + 3 , dx + 13 integral 1(x - 1)^2 + 3 , dx
Essas integrais são padrões:
  1. integral u'u^2 + a^2 , du = 12 ln|u^2 + a^2|
  2. integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua)

Passo 6

Aplicando as regras de integração:
112 ln|x + 2| - 124 ln((x - 1)^2 + 3) + 13 raiz3 arctan(x - 1raiz3) + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
112 ln|x + 2| - 124 ln((x - 1)^2 + 3) + 13 raiz3 arctan(x - 1raiz3) + C

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