Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
de
até
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais definidas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que têm a forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função dentro da integral:
. Essa expressão tem uma raiz quadrada no denominador, o que significa que o valor dentro da raiz precisa ser não negativo para termos números reais. Então,
, o que simplifica para
. Isso quer dizer que, fora desse intervalo, a função não está definida no conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora, a integral vai de
até
. Mas, como vimos, nossa função só está definida entre
e
. Portanto, na prática, a integral de
até
é a mesma que a integral de
até
, porque fora desse intervalo a função não contribui para a área.
Passo 4
Então, vamos reescrever a integral considerando o intervalo onde a função está definida:
Essa forma é mais adequada para calcularmos a área que queremos.
Passo 5
A fórmula de integração que vamos usar é:
Aqui,
é uma constante. No nosso caso,
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Isso nos dá a antiderivada da função que estamos integrando.
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Passo 8
Calculando os valores das funções seno inverso:
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
O valor da integral é
.