Calcule as integrais abaixo:
integral-infty^1 1raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de 1raiz4 - x^2 de -infty até 1. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais definidas e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções que têm a forma 1raiza^2 - x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função dentro da integral: 1raiz4 - x^2. Essa expressão tem uma raiz quadrada no denominador, o que significa que o valor dentro da raiz precisa ser não negativo para termos números reais. Então, 4 - x^2 >= 0, o que simplifica para -2 <= x <= 2. Isso quer dizer que, fora desse intervalo, a função não está definida no conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora, a integral vai de -infty até 1. Mas, como vimos, nossa função só está definida entre -2 e 2. Portanto, na prática, a integral de -infty até 1 é a mesma que a integral de -2 até 1, porque fora desse intervalo a função não contribui para a área.

Passo 4

Então, vamos reescrever a integral considerando o intervalo onde a função está definida:
integral-2^1 1raiz4 - x^2 , dx
Essa forma é mais adequada para calcularmos a área que queremos.

Passo 5

A fórmula de integração que vamos usar é:
integral 1raiza^2 - x^2 , dx = arcsin(xa) + C
Aqui, a é uma constante. No nosso caso, a^2 = 4, então a = 2.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral 1raiz4 - x^2 , dx = arcsin(x2) + C
Isso nos dá a antiderivada da função que estamos integrando.

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de -2 a 1:
[ arcsin(x2) ]-2^1 = arcsin(12) - arcsin(-22)

Passo 8

Calculando os valores das funções seno inverso:
arcsin(12) = pi6
arcsin(-1) = -pi2

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão:
pi6 - (-pi2) = pi6 + pi2 = pi6 + 3pi6 = 4pi6 = 2pi3

Resposta

O valor da integral é 2pi3.

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