Escolha uma região delimitada por duas curvas. Informe as funções. Desenhe a região.
Calcule o volume rotacional desta região, informando o eixo rotacional;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escolher uma região que seja delimitada por duas curvas, identificar quais são essas funções matemáticas, desenhar essa região e, por fim, calcular o volume que essa região gera quando é girada em torno de um eixo específico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o cálculo de volumes de sólidos de revolução utilizando métodos como o de discos ou anéis.

Passo 2

Vamos começar escolhendo duas funções que se cruzam, formando uma região delimitada. Por exemplo, vamos escolher:
  • $ f(x) = x^2 $ (uma parábola)
  • $ g(x) = 2x + 3 $ (uma reta)
Essas duas curvas se intersectam em alguns pontos, formando uma região fechada entre elas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas duas funções se interceptam para saber os limites da nossa região. Igualamos as funções:
x^2 = 2x + 3
Resolvendo a equação:
x^2 - 2x - 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1
x = 2 pm raiz4 + 122
x = 2 pm raiz162
x = 2 pm 42
Então, temos:
x = 3 e x = -1

Passo 4

Com os pontos de interseção $ x = -1 $ e $ x = 3 $, sabemos que nossa região está delimitada entre esses valores de $ x $. Para desenhar a região, imagine a parábola $ y = x^2 $ abrindo para cima e a reta $ y = 2x + 3 $ cruzando a parábola nesses dois pontos. A área entre essas curvas, de $ x = -1 $ a $ x = 3 $, é a região que vamos considerar.

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume rotacional dessa região. Vamos escolher girar essa região em torno do eixo $ x $. Para isso, usaremos o método dos discos.
O método dos discos é utilizado quando o sólido resultante da rotação pode ser visto como uma série de discos empilhados. A fórmula para o volume $ V $ é:
x
onde $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a função de baixo na região.

Passo 6

Identificamos qual função está acima da outra no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 3 $. Vamos avaliar em $ x = 0 $:
x = -1
x = 3
Aqui, $ g(x) $ está acima de $ f(x) $. Portanto, a fórmula fica:
x = 0

Passo 7

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9
(x^2)^2 = x^4
Então:
V = pi integral-1^3 [ 4x^2 + 12x + 9 - x^4 ] dx
V = pi integral-1^3 ( -x^4 + 4x^2 + 12x + 9 ) dx

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral ( -x^4 + 4x^2 + 12x + 9 ) dx = -x^55 + 4x^33 + 6x^2 + 9x
Avaliando de $ x = -1 $ a $ x = 3 $:
x = -1
Calculando cada parte:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = -1 $:
V = pi [ ( -3^55 + 4 cdot 3^33 + 6 cdot 3^2 + 9 cdot 3 ) - ( -(-1)^55 + 4 cdot (-1)^33 + 6 cdot (-1)^2 + 9 cdot (-1) ) ]
Então:
x = 3
-2435 + 1083 + 54 + 27 = -48.6 + 36 + 54 + 27 = 68.4

Resposta

O volume rotacional da região delimitada pelas funções $ y = x^2 $ e $ y = 2x + 3 $, girada em torno do eixo $ x $, é aproximadamente $ 72.533\pi $ unidades cúbicas.

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