Escolha uma região delimitada por duas curvas. Informe as funções. Desenhe a região.
Calcule o volume rotacional desta região, informando o eixo rotacional;
Calcule o volume rotacional desta região, informando o eixo rotacional;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos escolher uma região que seja delimitada por duas curvas, identificar quais são essas funções matemáticas, desenhar essa região e, por fim, calcular o volume que essa região gera quando é girada em torno de um eixo específico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o cálculo de volumes de sólidos de revolução utilizando métodos como o de discos ou anéis.
Passo 2
Vamos começar escolhendo duas funções que se cruzam, formando uma região delimitada. Por exemplo, vamos escolher:
- $ f(x) = x^2 $ (uma parábola)
- $ g(x) = 2x + 3 $ (uma reta)
Essas duas curvas se intersectam em alguns pontos, formando uma região fechada entre elas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos onde essas duas funções se interceptam para saber os limites da nossa região. Igualamos as funções:
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Passo 4
Com os pontos de interseção $ x = -1 $ e $ x = 3 $, sabemos que nossa região está delimitada entre esses valores de $ x $. Para desenhar a região, imagine a parábola $ y = x^2 $ abrindo para cima e a reta $ y = 2x + 3 $ cruzando a parábola nesses dois pontos. A área entre essas curvas, de $ x = -1 $ a $ x = 3 $, é a região que vamos considerar.
Passo 5
Agora, vamos calcular o volume rotacional dessa região. Vamos escolher girar essa região em torno do eixo $ x $. Para isso, usaremos o método dos discos.
O método dos discos é utilizado quando o sólido resultante da rotação pode ser visto como uma série de discos empilhados. A fórmula para o volume $ V $ é:
onde $ f(x) $ é a função de cima e $ g(x) $ é a função de baixo na região.
Passo 6
Identificamos qual função está acima da outra no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 3 $. Vamos avaliar em $ x = 0 $:
Aqui, $ g(x) $ está acima de $ f(x) $. Portanto, a fórmula fica:
Passo 7
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliando de $ x = -1 $ a $ x = 3 $:
Calculando cada parte:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = -1 $:
Então:
Resposta
O volume rotacional da região delimitada pelas funções $ y = x^2 $ e $ y = 2x + 3 $, girada em torno do eixo $ x $, é aproximadamente $ 72.533\pi $ unidades cúbicas.