Calcule as integrais abaixo:
integral0^pi / 2 cos xraizsen x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida:
integral0^pi / 2 cos xraizsin x , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente uma que envolve funções trigonométricas e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo uma parte da integral por uma nova variável. Olhando para a integral, percebemos que temos sin x dentro da raiz e cos x multiplicando. Isso sugere que podemos fazer a seguinte substituição:
u = sin x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x para facilitar a substituição no diferencial dx:
dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx
Isso é ótimo porque temos cos x , dx na nossa integral original.

Passo 4

Vamos agora substituir u e du na integral original:
integral0^pi / 2 cos xraizsin x , dx = integralu(0)^u(pi/2) 1raizu , du
Precisamos calcular os novos limites de integração. Quando x = 0:
u = sin 0 = 0
E quando x = pi/2:
u = sin pi2 = 1
Então, nossa integral fica:
integral0^1 1raizu , du

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral 1raizu , du. Sabemos que:
1raizu = u^-1/2
A integral de u^n é dada por:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Onde C é a constante de integração. Aplicando isso aqui:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2raizu + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
2raizu |0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2(1) - 2(0) = 2

Resposta

A integral vale 2.

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