Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente uma que envolve funções trigonométricas e uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo uma parte da integral por uma nova variável. Olhando para a integral, percebemos que temos
dentro da raiz e
multiplicando. Isso sugere que podemos fazer a seguinte substituição:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para facilitar a substituição no diferencial
:
Isso é ótimo porque temos
na nossa integral original.
Passo 4
Vamos agora substituir
e
na integral original:
Precisamos calcular os novos limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
A integral de
é dada por:
Onde
é a constante de integração. Aplicando isso aqui:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
A integral vale 2.