Caĺcule as integrais abaixo
integral cos ^3(2 x) sen^2(2 x) d x
DICA: sen^2(2 x)+cos ^2(2 x)=1

Passo 1

Vamos calcular a integral integral cos^3(2x) sin^2(2x) , dx. Neste exercício, trabalharemos com funções trigonométricas e utilizaremos a identidade sin^2(2x) + cos^2(2x) = 1 para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão cos^3(2x) como cos^2(2x) cdot cos(2x). Assim, a integral fica:
integral cos^3(2x) sin^2(2x) , dx = integral cos^2(2x) cdot cos(2x) sin^2(2x) , dx

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x), substituímos sin^2(2x) na integral:
integral cos^2(2x) cdot cos(2x) (1 - cos^2(2x)) , dx = integral cos^3(2x) (1 - cos^2(2x)) , dx

Passo 4

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
cos^3(2x) (1 - cos^2(2x)) = cos^3(2x) - cos^5(2x)
Portanto, a integral se torna:
integral cos^3(2x) sin^2(2x) , dx = integral cos^3(2x) , dx - integral cos^5(2x) , dx

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira Integral: integral cos^3(2x) , dx
Para integrar cos^3(2x), usamos a técnica de separar uma potência de cosseno e aplicar a substituição:
cos^3(2x) = cos^2(2x) cdot cos(2x) = (1 - sin^2(2x)) cdot cos(2x)
Agora, fazemos a substituição u = sin(2x). Então, du = 2 cos(2x) , dx, ou seja, cos(2x) , dx = du2.
Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) cdot du2 = 12 integral (1 - u^2) , du = 12 ( u - u^33 ) + C
Voltando para x:
12 ( sin(2x) - sin^3(2x)3 ) + C
Segunda Integral: integral cos^5(2x) , dx
De maneira similar, separamos a potência de cosseno:
cos^5(2x) = cos^4(2x) cdot cos(2x) = (1 - sin^2(2x))^2 cdot cos(2x)
Fazemos a substituição u = sin(2x), então du = 2 cos(2x) , dx, ou seja, cos(2x) , dx = du2.
Substituindo na integral:
integral (1 - 2u^2 + u^4) cdot du2 = 12 integral (1 - 2u^2 + u^4) , du = 12 ( u - 2u^33 + u^55 ) + C
Voltando para x:
12 ( sin(2x) - 2sin^3(2x)3 + sin^5(2x)5 ) + C

Passo 6

Agora, substituímos as integrais resolvidas de volta na expressão original:
integral cos^3(2x) sin^2(2x) , dx = [ 12 ( sin(2x) - sin^3(2x)3 ) ] - [ 12 ( sin(2x) - 2sin^3(2x)3 + sin^5(2x)5 ) ] + C
Simplificando os termos:
12 sin(2x) - 16 sin^3(2x) - 12 sin(2x) + 13 sin^3(2x) - 110 sin^5(2x) + C
Os termos 12 sin(2x) e -12 sin(2x) se cancelam, e combinando os outros termos temos:
16 sin^3(2x) - 110 sin^5(2x) + C

Resposta

A integral integral cos^3(2x) sin^2(2x) , dx é igual a dfrac16 sin^3(2x) - dfrac110 sin^5(2x) + C, onde C é a constante de integração.

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