Considere a curva
que tem
e
, com
, como equações paramétricas. Encontre uma equação cartesiana para a reta tangente à
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas $ x = t + 2 $ e $ y = 1 - t^{2} $, com $ t $ variando de -2 a 2. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto (3, 0). Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir para qual valor de $ t $ a curva passa pelo ponto (3, 0). Sabemos que:
Vamos igualar $ x $ a 3 e $ y $ a 0:
Mas como $ t = 1 $ satisfaz ambas as equações, vamos usar $ t = 1 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $. Isso nos ajuda a calcular a inclinação da reta tangente. Calculamos:
Passo 4
A inclinação da reta tangente é dada por $ \frac{dy}{dx} $, que podemos encontrar dividindo $ \frac{dy}{dt} $ por $ \frac{dx}{dt} $:
No ponto onde $ t = 1 $, a inclinação é:
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde $ m = -2 $ e o ponto $ (x_{0}, y_{0}) = (3, 0) $. Substituindo:
Resposta
A equação cartesiana da reta tangente à curva $ C $ no ponto
é: