Considere a curva C que tem x=t+2 e y=1-t^2, com -2 <= t <= 2, como equações paramétricas. Encontre uma equação cartesiana para a reta tangente à C no ponto (3,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas $ x = t + 2 $ e $ y = 1 - t^{2} $, com $ t $ variando de -2 a 2. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto (3, 0). Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir para qual valor de $ t $ a curva passa pelo ponto (3, 0). Sabemos que:
t
Vamos igualar $ x $ a 3 e $ y $ a 0:
x = t + 2 y = 1 - t^2
Mas como $ t = 1 $ satisfaz ambas as equações, vamos usar $ t = 1 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $. Isso nos ajuda a calcular a inclinação da reta tangente. Calculamos:
x

Passo 4

A inclinação da reta tangente é dada por $ \frac{dy}{dx} $, que podemos encontrar dividindo $ \frac{dy}{dt} $ por $ \frac{dx}{dt} $:
dydx
No ponto onde $ t = 1 $, a inclinação é:
dydt

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Onde $ m = -2 $ e o ponto $ (x_{0}, y_{0}) = (3, 0) $. Substituindo:
m = -2

Resposta

A equação cartesiana da reta tangente à curva $ C $ no ponto C é:
(3, 0)

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