integral x^5(x^2+4)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^5(x^2+4)^2,dx. O conteúdo aqui é integral de função racional, e a técnica mais direta é usar uma substituição de variável para simplificar o denominador.

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^2 + 4, obtemos du = 2x,dx, isto é, x,dx = tfracdu2. Essa mudança transforma o denominador em função de u. Note que o numerador x^5 pode ser reescrito como x^4cdot x=(x^2)^2,x. Como x^2 = u-4, temos x^4=(u-4)^2. Substituindo na integral:
integral x^5(x^2+4)^2,dx = integral (u-4)^2,(x,dx)u^2 = 12integral (u-4)^2u^2,du

Passo 3

Expandindo o quadrado e dividindo por u^2:
12integral (u-4)^2u^2,du = 12integral l(1 - 8u + 16u^2r),du
Agora integramos termo a termo:
12l(u - 8ln|u| - 16,u^-1r) + C

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u = x^2 + 4 e simplificando a constante, chegamos a:
x^2+42 - 4ln(x^2+4) - 8x^2+4 + C

Resposta

x^2+42 - 4ln(x^2+4) - 8x^2+4 + C

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