Determine o campo gradiente nabla f(x, y, z) das funções dadas abaixo.
(a) f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2.

Passo 1

A função dada é f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} e queremos encontrar o campo gradiente nabla f(x,y,z). O conteúdo envolvido aqui é o operador gradiente aplicado a funções escalares de várias variáveis, que exige cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é definido como o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a cada variável: $ nabla f(x,y,z)=(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial z)$ Vamos calcular as derivadas parciais de f: Para a variável x: Vamos calcular as derivadas parciais de f:
Para a variável x: $ Para a variável y:
Para a variável y: $ partial fpartial y=partialpartial y(x^2+y^2+z^2)=2y
Para a variável z: $

Resposta

nabla f(x,y,z)=(2x,,2y,,2z)

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