Calcule as integrais abaixo.
integral duplaR(2 x-y) d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=4 e pelas retas x=0 e y=xéãí

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaR(2x - y),dA
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2 + y^2 = 4 e pelas retas x=0 e y=x.
O conteúdo aqui é integração em coordenadas polares, pois a fronteira inclui um círculo centrado na origem.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
A curva x^2+y^2=4 vira r=2. A reta x=0 corresponde a theta=tfracpi2 e a reta y=x a theta=tfracpi4. Como estamos no primeiro quadrante entre essas duas retas, os limites são
0 <= r <= 2, pi4 <= theta <= pi2

Passo 3

O integrando em polares fica
2x - y = 2(rcostheta) - (rsintheta) = rl(2costheta - sinthetar)
e com dA = r,dr,dtheta obtemos o integrando total
rl(2costheta - sinthetar)cdot r = r^2,(2costheta - sintheta)

Passo 4

Montamos então
integral duplaR(2x - y),dA = integraltheta=pi4^pi2!integralr=0^2 r^2,(2costheta - sintheta),dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^2 r^2,dr = [r^33]0^2 = 83
Logo a integral se reduz a
83,integralpi4^pi2!(2costheta - sintheta),dtheta

Passo 5

Calculamos a primitiva em theta:
integral (2costheta - sintheta),dtheta = 2sintheta + costheta
Avaliando de theta=tfracpi4 a tfracpi2:
l[2sintheta + costhetar]pi4^pi2 = l(2cdot1 + 0r) - l(2cdotraiz22 + raiz22r) = 2 - 3raiz22
Multiplicando por tfrac83:
83l(2 - 3raiz22r) = 163 - 4raiz2 = 16 - 12raiz23

Resposta

integral duplaR(2x - y),dA = 16 - 12raiz23

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