Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
O conteúdo que vamos usar é o método de solução geral: primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada, depois achamos uma solução particular para cada termo do lado direito e somamos tudo.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
A equação característica é
cuja solução é
e
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo constante
. Como esse termo é constante, tentamos
então
e
. Substituindo na equação:
Passo 4
Para o termo
, vemos que
já está na solução homogênea (resonância), então multiplicamos por
e tentamos
Calculamos
Substituindo na equação original:
Para que isso seja igual a
, precisamos de
, ou seja
Passo 5
A solução particular total é
Somando com a solução homogênea, a solução geral é