Resolva a equação diferencial.
d^2 yd x^2-d yd x-6 y=1+e^-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
d^2ydx^2 - dydx - 6y = 1 + e^-2x
O conteúdo que vamos usar é o método de solução geral: primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada, depois achamos uma solução particular para cada termo do lado direito e somamos tudo.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
d^2ydx^2 - dydx - 6y = 0
A equação característica é
r^2 - r - 6 = 0,
cuja solução é r=3 e r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
yc(x) = C1e^3x + C2e^-2x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp1 para o termo constante 1. Como esse termo é constante, tentamos
yp1(x) = A,
então yp1'=0 e yp1''=0. Substituindo na equação:
0 - 0 - 6A = 1 Longrightarrow A = -16

Passo 4

Para o termo e^-2x, vemos que e^-2x já está na solução homogênea (resonância), então multiplicamos por x e tentamos
yp2(x) = B,x,e^-2x
Calculamos
yp2' = B e^-2x - 2B x e^-2x, yp2'' = -4B e^-2x + 4B x e^-2x
Substituindo na equação original:
yp2'' - yp2' - 6yp2 = l(-4B + 4B xr)e^-2x - l(B - 2B xr)e^-2x - 6l(B x e^-2xr) = -5B,e^-2x
Para que isso seja igual a e^-2x, precisamos de -5B = 1, ou seja
B = -15

Passo 5

A solução particular total é
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = -16 ;-;15,x,e^-2x
Somando com a solução homogênea, a solução geral é
y(x) = C1e^3x + C2e^-2x -16 -15,x,e^-2x

Resposta

boxedy(x) = C1e^3x + C2e^-2x - 16 - x5,e^-2x

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