Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
f(t)=e^-t-e^-2 t

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função
f(t)=e^-t-e^-2t
Para isso vamos usar o teste da segunda derivada: se ,f''(t)>0 a curva é côncava para cima, se ,f''(t)<0 é côncava para baixo, e ponto de inflexão ocorre quando ,f''(t) muda de sinal passando por zero.

Passo 2

Calcular a primeira e a segunda derivadas de f.
f'(t)=ddtl(e^-tr);-;ddtl(e^-2tr) =-e^-t-(-2e^-2t) =-e^-t+2e^-2t
Derivando de novo:
f''(t)=ddtl(-e^-t+2e^-2tr) =e^-t-4e^-2t

Passo 3

Determinar candidatos a ponto de inflexão resolvendo f''(t)=0:
e^-t-4e^-2t=0 Longrightarrow e^-tl(1-4e^-tr)=0
Como e^-tneq0, segue 1-4e^-t=0 e portanto
e^-t=tfrac14 Longrightarrow -t=lnl(tfrac14r) Longrightarrow t=ln4

Passo 4

Analisar o sinal de f''(t)=e^-t-4e^-2t em torno de t=ln4.
Para t<ln4 temos e^-t>e^-ln4=1/4, logo
1-4e^-t<1-4cdottfrac14=0 Longrightarrow f''(t)<0
e a função é côncava para baixo.
Para t>ln4 temos e^-t<1/4, então
1-4e^-t>0 Longrightarrow f''(t)>0
e a função é côncava para cima. Como o sinal de f'' troca em t=ln4, ali há ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para baixo em (-infty,ln4), côncava para cima em (ln4,+infty), e possui ponto de inflexão em t=ln4.

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