Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3, centrados na origem. O conteúdo envolve troca para coordenadas polares e uso de substituição em integrais.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
,
e
. A região
fica
Assim a integral vira
Passo 3
Para a parte radial, use a substituição
,
ou
. Quando
,
; quando
,
. Então
Passo 4
Agora integramos em
:
Multiplicando pelos resultados, a integral total é