Calcule as integrais abaixo.
integral duplaR sen(x^2+y^2) d A, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3 , centrados na ori>=méãí

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
integral duplaR sinl(x^2+y^2r),dA
onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3, centrados na origem. O conteúdo envolve troca para coordenadas polares e uso de substituição em integrais.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. A região R fica
0 <= theta <= pi2, 1 <= r <= 3
Assim a integral vira
integral0^pi/2!!integral1^3 sinl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Para a parte radial, use a substituição u = r^2, du = 2r,dr ou r,dr = tfrac12du. Quando r=1, u=1; quando r=3, u=9. Então
integral1^3 sin(r^2),r,dr = 12integral1^9sin(u),du = 12l[-cos(u)r]1^9 = cos(1)-cos(9)2

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pi/2dtheta = pi2
Multiplicando pelos resultados, a integral total é
pi2,cdotcos(1)-cos(9)2 = pi4l(cos(1)-cos(9)r)

Resposta

pi4l(cos(1)-cos(9)r)

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