Calcule as integrais abaixo:
integral duplaR raizx^3+1 d A, onde R=(x, y) in R^2 ; raizy <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaRraizx^3+1,dA, onde
R é dado por

O conteúdo envolvido é integração dupla (Teorema de Fubini) e depois uma substituição para resolver a integral em x.

Passo 2

Precisamos descrever melhor a região R para aplicar Fubini. Observando raizy<= x<=1 com 0<= y<=1, podemos inverter a ordem de integração:
integral duplaRraizx^3+1,dA=integralx=0^1integraly=0^x^2raizx^3+1,dy,dx
Assim a integral vira

Passo 3

Na integral interna integraly=0^x^2raizx^3+1,dy, o integrando não depende de y. Logo
integraly=0^x^2raizx^3+1,dy = raizx^3+1cdotl[yr]0^x^2 = x^2raizx^3+1
Substituindo na integral externa obtemos
integral0^1x^2raizx^3+1,dx

Passo 4

Para resolver integral0^1x^2raizx^3+1,dx, faça a substituição:
x=0
Quando t=1, x=1; quando t=2, integral0^1x^2raizx^3+1,dx = integralt=1^2raizt,dt3 = 13integral1^2t^1/2,dt . Assim

Passo 5

Agora é só integrar t^1/2:
13integral1^2t^1/2,dt = 13cdot23l[t^3/2r]1^2 = 29l(2^3/2-1r) = 29(2raiz2-1)

Resposta

29(2raiz2-1)

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