Determine os seguintes limites.
Seja f definida em R e tal que para todo theta, theta^2+theta-22 theta+4 <= f(theta)theta^3 <= theta^2+2 theta-1theta+3. Calcule lim theta -1^- f(theta)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função f:RtoR sujeita à desigualdade
theta^2+theta-22theta+4<= f(theta)theta^3<= theta^2+2theta-1theta+3
o objetivo é calcular limthetato -1^-f(theta). O conteúdo usado será limites de funções, simplificação de expressões racionais e o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Para a expressão à esquerda, simplificamos:
Observamos que theta^2+theta-2=(theta+2)(theta-1) e 2theta+4=2(theta+2). Então:
theta^2+theta-22theta+4=(theta+2)(theta-1)2(theta+2)=theta-12
Logo
limthetato -1^-theta^2+theta-22theta+4=limthetato -1^-theta-12=-1-12=-1

Passo 3

Para a expressão à direita, basta avaliar diretamente no ponto de limite porque não há indeterminação em theta=-1. Temos:
limthetato -1^-theta^2+2theta-1theta+3= (-1)^2+2(-1)-1-1+3= 1-2-12=-1

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto: como
theta^2+theta-22theta+4<= f(theta)theta^3<= theta^2+2theta-1theta+3
e os limites das extremas são ambos -1, concluímos que
limthetato -1^-f(theta)theta^3=-1

Passo 5

Para obter limthetato -1^-f(theta), usamos que theta^3to(-1)^3=-1 e a propriedade do limite do produto. Logo,
limthetato -1^-f(theta)= limthetato -1^-l(theta^3r)cdot limthetato -1^-f(theta)theta^3=(-1)cdot(-1)=1

Resposta

1

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