Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um limite:
. Isso está relacionado ao cálculo de limites, especificamente quando substituímos o valor que x está se aproximando e acabamos com uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para conseguir simplificar e calcular o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão. No numerador, temos
. Sabemos que
, então fica
. No denominador, é simplesmente
. Então, temos uma forma
, que precisamos resolver.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma indeterminação
, uma das ferramentas que podemos usar é a regra de L’Hospital. Essa regra diz que se o limite de
quando
tende a um valor resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a
.
Para o numerador:
. A derivada de
é:
Para o denominador:
. A derivada de
é simplesmente:
Passo 5
Agora, aplicamos essas derivadas no limite:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Podemos racionalizar o denominador se quisermos:
Resposta
O limite é
.