lim x 8 raizraiz[3]x+1-3x-8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um limite: lim x 8 raizraiz[3]x+1-3x-8. Isso está relacionado ao cálculo de limites, especificamente quando substituímos o valor que x está se aproximando e acabamos com uma indeterminação do tipo 00. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para conseguir simplificar e calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 8 na expressão. No numerador, temos raizraiz[3]8 + 1 - 3. Sabemos que raiz[3]8 = 2, então fica raiz2 + 1 - 3 = raiz3 - 3. No denominador, é simplesmente 8 - 8 = 0. Então, temos uma forma 00, que precisamos resolver.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação 00, uma das ferramentas que podemos usar é a regra de L’Hospital. Essa regra diz que se o limite de f(x)g(x) quando x tende a um valor resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Primeiro, derivamos o numerador e o denominador em relação a x.
Para o numerador: f(x) = raizraiz[3]x + 1. A derivada de f(x) é:
f'(x) = 12raizraiz[3]x + 1 cdot 13x^2/3
Para o denominador: g(x) = x - 8. A derivada de g(x) é simplesmente:
g'(x) = 1

Passo 5

Agora, aplicamos essas derivadas no limite:
lim x 8 f'(x)g'(x) = lim x 8 12raizraiz[3]x + 1 cdot 13x^2/31
Simplificando a expressão:
lim x 8 16raizraiz[3]x + 1 cdot x^2/3

Passo 6

Agora, substituímos x = 8 na expressão simplificada:
16raizraiz[3]8 + 1 cdot 8^2/3 = 16raiz2 + 1 cdot 4 = 16raiz3 cdot 4 = 124raiz3
Podemos racionalizar o denominador se quisermos:
raiz324 cdot 3 = raiz372

Resposta

O limite é raiz372.

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