• Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas: lim x 3^+ f(x)=4, lim x 3^- f(x)=2, lim x -2 f(x)=1, f(4)=2 e f(-2)=-1

Passo 1

O enunciado pede um esboço de um gráfico de uma função que tenha um salto em x=3 (com limite à esquerda igual a 2 e à direita igual a 4), um ponto removível em x=–2 (limite igual a 1, mas valor da função igual a –1) e ainda f(4)=2.

Passo 2

Para garantir limxto3^-f(x)=2 e limxto3^+f(x)=4, podemos fazer com que para valores de x próximos de 3 (à esquerda) a função seja constante igual a 2 e para valores de x próximos de 3 (à direita) seja constante igual a 4.
Para garantir limxto-2f(x)=1 e ao mesmo tempo ter f(-2)=-1, definimos um pequeno intervalo ao redor de –2 em que f(x)=1 (x≠–2) e, no ponto x=–2, atribuímos f(-2)=–1.
Para impor que f(4)=2 mesmo que, na região x>3, tenhamos adotado f(x)=4, fazemos uma sobreposição pontual: no ponto x=4 colocamos um ponto isolado em y=2.

Passo 3

Com tudo isso, montamos a definição por partes e esboçamos o gráfico: retas horizontais em y=2 para x<3 (com exceção de alimentar o intervalo usado para o limite em –2), retas horizontais em y=4 para x>3, retas em y=1 no intervalo usado para o limite em –2, além dos pontos destacados no gráfico em (–2,–1), (–2,1) (buraco), (3,2) (buraco), (3,4) (buraco) e (4,2).

Resposta

Um exemplo de definição por partes que satisfaz todas as condições é:
f(x)= 2,&x<3 e xnotin(-3,-1), 1,&-33 e xneq 4, -1,&x=-2, 2,&x=4
No esboço do gráfico teremos:
• Retas horizontais em y=2 para x<3 (salto em x=3, com buraco em (3,2)).
• Retas horizontais em y=4 para x>3 (buraco em (3,4)).
• Retas horizontais em y=1 no intervalo (-3,–1) (buraco em (–2,1)).
• Ponto destacado (–2,–1) e ponto destacado (4,2).

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