- Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça todas as condições dadas:
Passo 1
O enunciado pede um esboço de um gráfico de uma função que tenha um salto em x=3 (com limite à esquerda igual a 2 e à direita igual a 4), um ponto removível em x=–2 (limite igual a 1, mas valor da função igual a –1) e ainda f(4)=2.
Passo 2
Para garantir
e
, podemos fazer com que para valores de x próximos de 3 (à esquerda) a função seja constante igual a 2 e para valores de x próximos de 3 (à direita) seja constante igual a 4.
Para garantir e ao mesmo tempo ter
, definimos um pequeno intervalo ao redor de –2 em que f(x)=1 (x≠–2) e, no ponto x=–2, atribuímos f(-2)=–1.
Para impor que mesmo que, na região x>3, tenhamos adotado f(x)=4, fazemos uma sobreposição pontual: no ponto x=4 colocamos um ponto isolado em y=2.
Para garantir
Para impor que
Passo 3
Com tudo isso, montamos a definição por partes e esboçamos o gráfico: retas horizontais em y=2 para x<3 (com exceção de alimentar o intervalo usado para o limite em –2), retas horizontais em y=4 para x>3, retas em y=1 no intervalo usado para o limite em –2, além dos pontos destacados no gráfico em (–2,–1), (–2,1) (buraco), (3,2) (buraco), (3,4) (buraco) e (4,2).
Resposta
Um exemplo de definição por partes que satisfaz todas as condições é:
No esboço do gráfico teremos:
• Retas horizontais em y=2 para x<3 (salto em x=3, com buraco em (3,2)).
• Retas horizontais em y=4 para x>3 (buraco em (3,4)).
• Retas horizontais em y=1 no intervalo (-3,–1) (buraco em (–2,1)).
• Ponto destacado (–2,–1) e ponto destacado (4,2).
• Retas horizontais em y=2 para x<3 (salto em x=3, com buraco em (3,2)).
• Retas horizontais em y=4 para x>3 (buraco em (3,4)).
• Retas horizontais em y=1 no intervalo (-3,–1) (buraco em (–2,1)).
• Ponto destacado (–2,–1) e ponto destacado (4,2).