Calcule as integrais abaixo:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região
. Vamos usar troca de ordem de integração e depois integração por substituição, já que não existe antiderivada elementar de
.
Passo 2
Escrevendo a integral como iterada em
primeiro e
depois, temos:
Aqui perceba que não dá para integrar
em termos elementares, então vamos trocar a ordem.
Passo 3
Para trocar a ordem, determinamos que na região
o valor de
varia de 0 até 3 e, para cada
,
vai de 0 até
. Assim:
Passo 4
Agora integramos primeiro em
, tratando
como constante:
Logo a integral fica:
Passo 5
Para resolver
fazemos a substituição
, de modo que
e
. Os limites em
vão de 0 até 9. Assim:
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que ficou de fora, obtemos o valor da integral dupla: