Calcule as integrais abaixo:
integral duplaR e^x^2 d A, onde R=(x, y) in R^2 ; 3 y <= x <= 3,0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^x^2,dA sobre a região R=(x,y):0<= y<=1,;3y<= x<=3. Vamos usar troca de ordem de integração e depois integração por substituição, já que não existe antiderivada elementar de e^x^2.

Passo 2

Escrevendo a integral como iterada em x primeiro e y depois, temos:
integral duplaR e^x^2,dA = integraly=0^1 integralx=3y^3 e^x^2,dx,dy
Aqui perceba que não dá para integrar e^x^2 em termos elementares, então vamos trocar a ordem.

Passo 3

Para trocar a ordem, determinamos que na região R o valor de x varia de 0 até 3 e, para cada x, y vai de 0 até x/3. Assim:
integral duplaR e^x^2,dA = integralx=0^3 integraly=0^x/3 e^x^2,dy,dx

Passo 4

Agora integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integraly=0^x/3 e^x^2,dy = e^x^2 l[yr]0^x/3 = x3 ;e^x^2
Logo a integral fica:
integralx=0^3 x3 e^x^2,dx = 13 integral0^3 x e^x^2,dx

Passo 5

Para resolver integral0^3 x e^x^2,dx fazemos a substituição u = x^2, de modo que du = 2x,dx e x,dx = du/2. Os limites em u vão de 0 até 9. Assim:
integral0^3 x e^x^2,dx = 12 integral0^9 e^u,du = 12 l[e^ur]0^9 = e^9-12

Passo 6

Multiplicando pelo fator 1/3 que ficou de fora, obtemos o valor da integral dupla:
integral duplaR e^x^2,dA = 13 cdot e^9-12 = e^9-16

Resposta

e^9-16

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